کنترل کننده PD کسری (Fractional-Order PD Controller)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع کنترل کننده ها (Controller) را در آموزش زیر شرح دادیم :

کنترل کننده PD کسری (Fractional-Order PD Controller) :

کنترل کننده تناسبی-مشتق گیر با مرتبه کسری

کنترل کننده PD کسری یا Fractional-Order PD Controller که با نماد

\[ PD^\mu \]

نشان داده می شود، یک حالت خاص از FOPID است که در آن بخش انتگرال گیر حذف شده است (

\[ K_i=0 \]

). این کنترل کننده دارای چهار درجه آزادی است:

\[ K_p \]

,

\[ K_d \]

,

\[ \mu \]

(مرتبه مشتق گیر کسری)، و گاهی یک فیلتر.

\[ PD^\mu \]

برای سیستم هایی که نیاز به بهبود پاسخ گذرا و افزایش پایداری دارند اما انتگرال گیر ممکن است باعث نوسان یا اشباع شود (مثل سیستم های نوع ۱ و بالاتر) مناسب است.

تابع تبدیل

\[ PD^\mu \]

:

\[ G_c(s) = K_p + K_d s^\mu \quad , \quad \mu \in (0,2) \]

کاربردها: کنترل ربات ها، سیستم های سروو، کنترل موقعیت، سیستم های با دینامیک سریع، و هر جایی که نیاز به پاسخ سریع و میراکنندگی مناسب است بدون نگرانی از خطای ماندگار.

✅ مزایا: انعطاف در تنظیم میرایی و سرعت پاسخ، حساسیت کمتر به نویز نسبت به PD صحیح (با انتخاب

\[ \mu<1 \]

)، بهبود پایداری.

⚠️ معایب: پیاده سازی پیچیده تر از PD، نیاز به تقریب عملگر کسری، تحلیل پایداری با مرتبه کسری.

با تغییر

\[ \mu \]

از ۰ به ۲، می توان رفتارهای مختلفی به دست آورد:

\[ \mu=1 \]

معادل PD صحیح است.

\[ \mu<1 \]

باعث کاهش حساسیت به نویز و میرایی نرم تر می شود.

\[ \mu>1 \]

اثر مشتق گیری قوی تری دارد (شبیه مشتق دوم) که می تواند برای سیستم های خاص مفید باشد.

مثال: یک بازوی رباتیک سریع که سنسورهای موقعیت آن نویز دارند. یک

\[ PD^\mu \]

با

\[ \mu=0.8 \]

طراحی می شود. این کنترل کننده سرعت پاسخ خوبی دارد، اما نویز کمتری نسبت به PD معمولی تقویت می کند و لرزش موتورها کاهش می یابد.

طراحی

\[ PD^\mu \]

معمولا با روش های فرکانسی انجام می شود. با انتخاب فرکانس متقاطع و حاشیه فاز مطلوب، پارامترها تعیین می شوند. همچنین می توان از روش های بهینه سازی استفاده کرد.