کنترل کننده PI کسری (Fractional-Order PI Controller)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع کنترل کننده ها (Controller) را در آموزش زیر شرح دادیم :

کنترل کننده PI کسری (Fractional-Order PI Controller) :

کنترل کننده تناسبی-انتگرالی با مرتبه کسری

کنترل کننده PI کسری یا Fractional-Order PI Controller که با نماد

\[ PI^\lambda \]

نشان داده می شود، یک حالت خاص از FOPID است که در آن بخش مشتق گیر حذف شده است (

\[ K_d=0 \]

). این کنترل کننده دارای چهار درجه آزادی است:

\[ K_p \]

,

\[ K_i \]

,

\[ \lambda \]

(مرتبه انتگرال گیر کسری)، و گاهی یک فیلتر.

\[ PI^\lambda \]

برای سیستم هایی که نیاز به حذف خطای ماندگار دارند اما بخش مشتق گیر ممکن است مشکل ساز باشد (مثلا به دلیل نویز) مناسب است.

تابع تبدیل

\[ PI^\lambda \]

:

\[ G_c(s) = K_p + \frac{K_i}{s^\lambda} \quad , \quad \lambda \in (0,2) \]

کاربردها: کنترل فرآیندهای صنعتی که نویز دارند، سیستم های حرارتی، کنترل موتور، سیستم های قدرت، و هر جایی که PI کلاسیک استفاده می شود اما نیاز به تنظیم دقیق تر وجود دارد.

✅ مزایا: حذف خطای ماندگار با نرخ adjustable، انعطاف بیشتر از PI صحیح، مقاومت بیشتر در برابر نویز نسبت به PID کسری، طراحی ساده تر از FOPID.

⚠️ معایب: پیاده سازی پیچیده تر از PI، نیاز به تقریب، تحلیل پایداری با مرتبه کسری.

با تغییر

\[ \lambda \]

از ۰ به ۲، می توان طیف وسیعی از رفتارها را به دست آورد: نزدیک به

\[ \lambda=1 \]

رفتار شبیه PI صحیح است. با

\[ \lambda<1 \]

، انتگرال گیر "ضعیف تر" است و اثر خطاهای گذشته سریع تر محو می شود. با

\[ \lambda>1 \]

، انتگرال گیر "قوی تر" است و حافظه بلندمدت تری دارد.

مثال: یک سیستم کنترل دما که سنسور آن نویزی است. یک

\[ PI^\lambda \]

با

\[ \lambda=0.7 \]

طراحی می شود. این کنترل کننده خطای ماندگار را حذف می کند، اما به دلیل مشتق گیر نداشتن، نویز را تقویت نمی کند. مرتبه کسری اجازه می دهد پاسخ به تغییرات دما نرم تر از PI صحیح باشد.

روش های طراحی

\[ PI^\lambda \]

شامل: روش های مبتنی بر بود (تعیین فرکانس متقاطع و حاشیه فاز مطلوب)، روش های بهینه سازی (GA, PSO)، و روش های تحلیلی مبتنی on مکان ریشه ها در صفحه s کسری است.

پایداری

\[ PI^\lambda \]

با در نظر گرفتن قطب ها در صفحه s کسری تحلیل می شود. معادله مشخصه

\[ 1 + (K_p + K_i/s^\lambda)G(s)=0 \]

باید برای پایداری بررسی شود.