کنترل کننده مشتق گیر کسری (Fractional-Order Differentiator)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع کنترل کننده ها (Controller) را در آموزش زیر شرح دادیم :
کنترل کننده مشتق گیر کسری (Fractional-Order Differentiator) :
مشتق گیر با مرتبه کسری برای پیش بینی تطبیقی
کنترل کننده مشتق گیر کسری یا Fractional-Order Differentiator یک المان کنترلی است که مشتق گیری با مرتبه کسری (معمولا
\[ \mu \]بین ۰ و ۱) انجام می دهد. تابع تبدیل آن به صورت
\[ s^\mu \]است. مشتق گیر کسری نیز مانند انتگرال گیر کسری، حافظه بلندمدت دارد و برای محاسبه مشتق در زمان t، به رفتار گذشته سیگنال وابسته است.
مشتق کسری را می توان به عنوان یک عملگر پیش بین با حافظه در نظر گرفت. برخلاف مشتق صحیح که بسیار به نویز حساس است، مشتق کسری می تواند با انتخاب مرتبه مناسب، حساسیت به نویز را کاهش دهد.
\[ D^\mu f(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{\Gamma(1-\mu)} \int_0^t (t-\tau)^{-\mu} f(\tau) d\tau \right) \]کاربردها: به عنوان بخشی از کنترل کننده های PD کسری و PID کسری، فیلترهای کسری برای پیش بینی، تشخیص زودهنگام تغییرات، کنترل سیستم های نوسانی.
✅ مزایا: حساسیت کمتر به نویز نسبت به مشتق صحیح (با انتخاب
\[ \mu<1 \])، پیش بینی تطبیقی، انعطاف در تنظیم میرایی.
⚠️ معایب: پیاده سازی دیجیتال پیچیده، نیاز به تقریب، افزایش بار محاسباتی.
مشتق گیر کسری با
\[ \mu=1 \]به مشتق گیر صحیح تبدیل می شود. با
\[ \mu<1 \]، اثر آن در فرکانس های بالا کمتر از مشتق صحیح است، بنابراین نویز کمتری تقویت می کند. این ویژگی در کاربردهای عملی بسیار مفید است.
مثال: در یک کنترل کننده PD کسری برای یک ربات، از مشتق گیر کسری با
\[ \mu=0.8 \]استفاده می شود. این باعث می شود نویز سنسورهای سرعت کمتر تقویت شود، در عین حال میرایی کافی برای جلوگیری از نوسان فراهم شود.
مشتق گیر کسری را می توان به عنوان یک فیلتر بالاگذر با شیب ۶dB/octave
\[ \mu \](به جای ۶dB/octave برای مشتق صحیح) در نظر گرفت. این شیب قابل تنظیم است.
