کنترل کننده انتگرال گیر کسری (Fractional-Order Integrator)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع کنترل کننده ها (Controller) را در آموزش زیر شرح دادیم :
کنترل کننده انتگرال گیر کسری (Fractional-Order Integrator) :
انتگرال گیر با مرتبه کسری برای حافظه بلندمدت
کنترل کننده انتگرال گیر کسری یا Fractional-Order Integrator یک المان کنترلی است که انتگرال گیری با مرتبه کسری (معمولا
\[ \lambda \]بین ۰ و ۱) انجام می دهد. این المان می تواند به تنهایی یا به عنوان بخشی از یک کنترل کننده بزرگتر (مانند PI کسری) استفاده شود. تابع تبدیل آن به صورت
\[ 1/s^\lambda \]است.
انتگرال گیر کسری حافظه بلندمدت دارد؛ یعنی برای محاسبه خروجی در زمان t، به تمام تاریخچه ورودی از زمان شروع (یا یک زمان مرجع) وابسته است. این ویژگی با انتگرال گیر صحیح (که فقط یک قطب در مبدأ دارد) متفاوت است.
\[ I^\lambda f(t) = \frac{1}{\Gamma(\lambda)} \int_0^t (t-\tau)^{\lambda-1} f(\tau) d\tau \]کاربردها: به عنوان بخشی از کنترل کننده های PI کسری و PID کسری، مدل سازی سیستم های با میرایی غیرمعمول، فیلترهای کسری، سیستم های حافظه دار.
✅ مزایا: حذف خطای ماندگار با نرخ adjustable، کاهش پدیده انتگرال وایندآپ (نسبت به انتگرال گیر صحیح)، انعطاف در شکل دهی پاسخ.
⚠️ معایب: پیاده سازی دیجیتال نیاز به تقریب و حافظه زیاد، تحلیل پایداری پیچیده تر.
انتگرال گیر کسری با
\[ \lambda=1 \]به انتگرال گیر صحیح تبدیل می شود. با
\[ \lambda<1 \]، پاسخ آن به ورودی پله، یک تابع توانی با شیب کمتر از ۱ است (به جای شیب ۱). این ویژگی می تواند در کنترل سیستم های با دینامیک آهسته مفید باشد.
مثال: در یک کنترل کننده PI کسری برای یک سیستم حرارتی، انتگرال گیر کسری با
\[ \lambda=0.7 \]استفاده می شود. این باعث می شود اثر خطاهای گذشته به تدریج و با وزنی کاهشی (به جای یکنواخت) در نظر گرفته شود.
پیاده سازی انتگرال گیر کسری در حوزه گسسته نیاز به تقریب با فیلترهای IIR با مرتبه بالا دارد. روش های رایج شامل تقریب اوستالاپ (در حوزه فرکانس) و روش تفاضل پسرو/پیشرو تعمیم یافته (در حوزه زمان) هستند.
