کنترل کننده کسری (Fractional-Order Controller)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع کنترل کننده ها (Controller) را در آموزش زیر شرح دادیم :
کنترل کننده کسری (Fractional-Order Controller) :
کنترل کننده های مبتنی بر حسابان کسری
کنترل کننده کسری یا Fractional-Order Controller یک اصطلاح کلی برای هر کنترل کننده ای است که از معادلات دیفرانسیل با مرتبه کسری در ساختار خود استفاده می کند. این شامل FOPID و همچنین سایر ساختارها مانند کنترل کننده های کسری پیش فاز/پس فاز، کنترل کننده های تطبیقی کسری، و کنترل کننده های مد لغزشی کسری می شود.
حسابان کسری (Fractional Calculus) به مطالعه مشتق ها و انتگرال های با مرتبه غیرصحیح می پردازد. این ابزار ریاضی قدرتمند به ما اجازه می دهد تا سیستم ها و کنترل کننده هایی با حافظه بلندمدت و رفتارهای پیچیده تر طراحی کنیم.
\[ {}_a D_t^\alpha f(t) = \frac{1}{\Gamma(n-\alpha)} \frac{d^n}{dt^n} \int_a^t \frac{f(\tau)}{(t-\tau)^{\alpha-n+1}} d\tau \]کاربردها: کنترل سیستم های ویسکوالاستیک، سیستم های الکتروشیمیایی، انتشار گرما و جرم، رباتیک، بیولوژی، اقتصاد، و هر جایی که پدیده های با حافظه بلندمدت وجود دارد.
✅ مزایا: مدل سازی دقیق تر پدیده های فیزیکی، انعطاف پذیری بیشتر در طراحی، عملکرد برتر در بسیاری موارد.
⚠️ معایب: پیچیدگی ریاضی، پیاده سازی دشوار، نیاز به تقریب، تحلیل پایداری پیچیده تر.
علاوه بر FOPID، کنترل کننده های کسری دیگری نیز وجود دارند: کنترل کننده کسری پیش فاز (Fractional Lead) به صورت
\[ G_c(s) = K \left(\frac{1+Ts}{1+\alpha Ts}\right)^\mu \]، کنترل کننده کسری مرتبه اول
\[ G_c(s) = \frac{K}{s^\lambda + a} \]، و کنترل کننده مد لغزشی کسری که در آن سطح لغزش با مشتقات کسری تعریف می شود.
مثال: یک سیستم تعلیق خودرو با کمک فنر ویسکوالاستیک (که رفتار کسری دارد). یک کنترل کننده کسری می تواند نوسانات را بهتر میرا کند و راحتی سفر را افزایش دهد.
پایداری سیستم های کسری با استفاده از قضایای تعمیم یافته لیاپانوف و روش مکان ریشه ها در صفحه s با صفحات چندبرگی (Riemann surfaces) تحلیل می شود. شرط پایداری: همه قطب ها باید در ناحیه
\[ |\arg(s)| > \alpha\pi/2 \]باشند.
