کنترل کننده PID کسری (Fractional-Order PID Controller یا FOPID)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع کنترل کننده ها (Controller) را در آموزش زیر شرح دادیم :
کنترل کننده PID کسری (Fractional-Order PID Controller یا FOPID) :
تعمیم PID با مشتق و انتگرال از مرتبه کسری
کنترل کننده PID کسری یا Fractional-Order PID (FOPID) Controller که با نماد
\[ PI^\lambda D^\mu \]نشان داده می شود، یک تعمیم از کنترل کننده PID کلاسیک است که در آن مرتبه انتگرال گیر (
\[ \lambda \]) و مشتق گیر (
\[ \mu \]) می توانند اعداد حقیقی (و معمولا کسری) باشند، نه فقط اعداد صحیح. این کنترل کننده توسط پروفسور ایگور پودلوبنی معرفی شد و پنج درجه آزادی دارد (Kp, Ki, Kd, λ, μ).
تابع تبدیل یک FOPID:
\[ G_c(s) = K_p + \frac{K_i}{s^\lambda} + K_d s^\mu \quad , \quad \lambda, \mu \in (0, 2) \]کاربردها: کنترل سیستم های با دینامیک کسری (مانند سیستم های حرارتی، انتشار، ویسکوالاستیک)، بهبود عملکرد در سیستم های مرتبه صحیح (با تنظیم دقیق تر)، رباتیک، کنترل موتور، سیستم های قدرت.
✅ مزایا: انعطاف پذیری بیشتر نسبت به PID صحیح، عملکرد بهتر (معمولا)، قابلیت مدل سازی و کنترل سیستم های ذاتا کسری.
⚠️ معایب: پیچیدگی بیشتر (۵ پارامتر)، نیاز به تقریب برای پیاده سازی (چون مشتق/انتگرال کسری در حوزه زمان بینهایت بعدی است)، تحلیل پایداری دشوارتر.
مشتق و انتگرال کسری عملگرهایی هستند که تمام تاریخچه سیگنال را در نظر می گیرند (حافظه بلندمدت). تعریف معروف عملگر کسری، تعریف ریمان-لیوویل یا کاپوتو است. در حوزه لاپلاس،
\[ s^\lambda \]به سادگی نمایش داده می شود.
مثال: یک سیستم حرارتی که دینامیک آن با معادله دیفرانسیل کسری مدل می شود (به دلیل نفوذ حرارت). یک کنترل کننده FOPID می تواند دما را با دقت بیشتری نسبت به PID معمولی کنترل کند.
پیاده سازی عملی FOPID نیاز به تقریب عملگر کسری با توابع مرتبه صحیح دارد. روش های معروف تقریب شامل: تقریب اوستالاپ (Oustaloup)، تقریب کارلسون، و تقریب ماتسودا هستند. این تقریب ها یک تابع کسری را با یک تابع مرتبه بالا (معمولا ۵ تا ۱۰) تقریب می زنند.
