کنترل کننده حالت-خطی ساز (State-Space Linearization Controller)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع کنترل کننده ها (Controller) را در آموزش زیر شرح دادیم :
کنترل کننده حالت-خطی ساز (State-Space Linearization Controller) :
خطی سازی کامل معادلات حالت
کنترل کننده حالت-خطی ساز یا State-Space Linearization Controller نوع دیگری از خطی سازی پسخورد است که هدف آن خطی کردن تمام معادلات حالت سیستم است. این روش که گاهی خطی سازی ورودی-حالت (input-state linearization) نامیده می شود، با استفاده از یک تبدیل مختصات مناسب (تغییر متغیرهای حالت) و یک قانون کنترل پسخورد، سیستم غیرخطی را به یک سیستم خطی معادل تبدیل می کند.
برای یک سیستم به فرم
\[ \dot{x} = f(x) + g(x) u \]، به دنبال یک تبدیل دیفئومورفیسم
\[ z = \Phi(x) \]و یک قانون کنترل
\[ u = \alpha(x) + \beta(x) v \]می گردیم که سیستم را به فرم خطی زیر تبدیل کند:
\[ \dot{z} = A z + B v \]کاربردها: سیستم های غیرخطی که به فرم استاندارد قابل تبدیل هستند، کنترل ربات ها، سیستم های الکترومکانیکی، سیستم های با دینامیک صریح.
✅ مزایا: خطی سازی کامل، امکان استفاده از تمام روش های خطی، طراحی سیستماتیک با استفاده از مشتقات لی.
⚠️ معایب: محدود به دسته خاصی از سیستم ها (قابل خطی سازی کامل)، نیاز به محاسبات سنگین مشتقات لی، حساسیت به عدم قطعیت.
شرط لازم و کافی برای خطی سازی کامل حالت، وجود یک تابع خروجی (که لزومی ندارد خروجی واقعی باشد) با درجه نسبی برابر با n (مرتبه سیستم) است. این معادل با این است که توزیع های ساخته شده از میدان های برداری f و g شرایط involution را ارضا کنند.
مشتقات لی (Lie derivatives) ابزار اصلی در تحلیل خطی سازی هستند. مشتق لی یک تابع اسکالر h نسبت به میدان برداری f به صورت
\[ L_f h = \frac{\partial h}{\partial x} f(x) \]تعریف می شود.
مثال: یک موتور DC با اشباع مغناطیسی (غیرخطی) را در نظر بگیرید. اگر سیستم شرایط خطی سازی کامل را داشته باشد، می توان با یک تبدیل مناسب و کنترل پسخورد، آن را به یک سیستم خطی مرتبه دوم تبدیل کرد. سپس می توان از LQR یا قطب گذاری برای طراحی کنترل استفاده نمود.
پس از خطی سازی، می توان از روش های کنترل خطی مانند LQR، قطب گذاری، یا کنترل تطبیقی خطی استفاده کرد. اما باید توجه داشت که این کنترل کننده در مختصات اصلی، یک کنترل کننده غیرخطی پیچیده خواهد بود.
