کنترل کننده ورودی-خطی ساز (Input-Output Linearization Controller)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع کنترل کننده ها (Controller) را در آموزش زیر شرح دادیم :
کنترل کننده ورودی-خطی ساز (Input-Output Linearization Controller) :
خطی سازی رابطه ورودی-خروجی
کنترل کننده ورودی-خطی ساز یا Input-Output Linearization Controller یک نوع خاص از خطی سازی پسخورد است که هدف آن خطی کردن رابطه بین ورودی کنترلی و خروجی سیستم است. در این روش، الزاما همه معادلات حالت خطی نمی شوند؛ بلکه فقط رابطه ورودی-خروجی خطی می شود. بقیه دینامیک سیستم (دینامیک داخلی) ممکن است غیرخطی باقی بماند.
مراحل کار: ۱) مشتق گیری مکرر از خروجی تا زمانی که ورودی u ظاهر شود. ۲) طراحی قانون کنترل به فرم
\[ u = \alpha(x) + \beta(x) v \]به گونه ای که رابطه
\[ y^{(r)} = v \]به دست آید. ۳) طراحی v برای کنترل این سیستم خطی (مثلا با قطب گذاری).
\[ u = \frac{1}{L_g L_f^{r-1} h(x)} (v - L_f^r h(x)) \] \[ y^{(r)} = v \]کاربردها: کنترل ربات ها، کنترل موقعیت، سیستم های الکترومکانیکی، و هر جایی که فقط رابطه ورودی-خروجی اهمیت دارد.
✅ مزایا: ساده تر از خطی سازی کامل حالت، مناسب برای ردیابی مسیر، قابلیت اعمال روش های خطی برای خروجی.
⚠️ معایب: وجود دینامیک داخلی که ممکن است ناپایدار باشد، نیاز به درجه نسبی مشخص، حساسیت به مدل.
درجه نسبی (relative degree) در این روش مهم است. درجه نسبی r تعداد دفعاتی است که باید از خروجی مشتق بگیریم تا ورودی ظاهر شود. اگر r برابر با مرتبه سیستم n باشد، خطی سازی ورودی-خروجی معادل خطی سازی کامل است. اگر r < n باشد، n-r بعد از دینامیک داخلی داریم که باید پایدار باشد.
مثال: یک سیستم سطح مایع با دو حالت (سطح و دبی) داریم که خروجی سطح است. درجه نسبی ممکن است ۱ باشد (با یک بار مشتق گیری، ورودی ظاهر شود). با خطی سازی ورودی-خروجی، رابطه بین ورودی و سطح را خطی می کنیم، اما دینامیک دبی (که قابل مشاهده نیست) به عنوان دینامیک داخلی باقی می ماند. اگر این دینامیک پایدار باشد، سیستم کنترل خوب کار می کند.
بررسی پایداری دینامیک داخلی (صفر دینامیک) یک گام ضروری در طراحی است. صفر دینامیک معادل دینامیک سیستم وقتی خروجی ثابت نگه داشته شده است. اگر صفر دینامیک ناپایدار باشد، سیستم حداقل فاز غیرمینیمم نامیده می شود و خطی سازی ورودی-خروجی مستقیم ممکن نیست.
