کنترل کننده خطی ساز پسخورد (Feedback Linearization Controller)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع کنترل کننده ها (Controller) را در آموزش زیر شرح دادیم :
کنترل کننده خطی ساز پسخورد (Feedback Linearization Controller) :
حذف غیرخطی ها با پسخورد
کنترل کننده خطی ساز پسخورد یا Feedback Linearization Controller یک روش قدرتمند برای کنترل سیستم های غیرخطی است. ایده اصلی این است که با استفاده از یک تبدیل مناسب (که معمولا شامل پسخورد است)، دینامیک غیرخطی سیستم را به یک سیستم خطی تبدیل کنیم. سپس می توان از روش های خطی استاندارد (مانند قطب گذاری) برای طراحی کنترل استفاده کرد.
دو نوع اصلی خطی سازی پسخورد وجود دارد: خطی سازی ورودی-حالت و خطی سازی ورودی-خروجی. در خطی سازی ورودی-حالت، هدف خطی کردن تمام معادلات حالت است. در خطی سازی ورودی-خروجی، هدف خطی کردن رابطه بین ورودی و خروجی مشخص است.
برای یک سیستم SISO به فرم:
\[ \dot{x} = f(x) + g(x) u \] \[ y = h(x) \]خطی سازی پسخورد با مشتق گیری مکرر از خروجی تا ظاهر شدن ورودی انجام می شود. اگر درجه نسبی r باشد، داریم:
\[ y^{(r)} = L_f^r h(x) + L_g L_f^{r-1} h(x) u \]سپس با انتخاب
\[ u = \frac{1}{L_g L_f^{r-1} h(x)} (v - L_f^r h(x)) \]، رابطه
\[ y^{(r)} = v \]به دست می آید که یک سیستم خطی است.
کاربردها: کنترل ربات ها، هواپیماها، موتورها، سیستم های شیمیایی، و بسیاری سیستم های غیرخطی با مدل دقیق.
✅ مزایا: تبدیل سیستم غیرخطی به خطی، امکان استفاده از روش های خطی، طراحی سیستماتیک.
⚠️ معایب: نیاز به مدل دقیق، حساسیت به عدم قطعیت، ممکن است به صفرهای ناپایدار منجر شود (صفرهای داخلی)، محاسبات مشتقات می تواند پیچیده باشد.
مهم ترین محدودیت خطی سازی پسخورد، نیاز به مدل دقیق است. اگر مدل دقیق نباشد، خطی سازی کامل انجام نمی شود و عملکرد کنترل کننده کاهش می یابد. برای رفع این مشکل، معمولا آن را با روش های مقاوم یا تطبیقی ترکیب می کنند.
مثال: یک بازوی رباتیک با دینامیک غیرخطی ناشی از نیروهای کوریولیس و گرانش. با خطی سازی پسخورد، می توان این نیروها را جبران کرده و سیستم را به صورت یک انتگرال گیر دوگانه خطی درآورد. سپس با یک کنترل کننده خطی ساده (مثل PD) می توان موقعیت را کنترل کرد.
دینامیک داخلی (zero dynamics) در خطی سازی ورودی-خروجی بسیار مهم است. اگر دینامیک داخلی ناپایدار باشد، سیستم حلقه بسته ممکن است ناپایدار شود. بنابراین، قبل از طراحی باید پایداری دینامیک داخلی بررسی شود.
