کنترل کننده مُد لغزشی ترمینال (Terminal Sliding Mode Controller)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع کنترل کننده ها (Controller) را در آموزش زیر شرح دادیم :
کنترل کننده مُد لغزشی ترمینال (Terminal Sliding Mode Controller) :
همگرایی در زمان محدود
کنترل کننده مُد لغزشی ترمینال یا Terminal Sliding Mode Controller (TSMC) یک نسخه پیشرفته از SMC است که در آن خطا در زمان محدود (نه مجانبی) به صفر می رسد. این ویژگی با استفاده از سطوح لغزش غیرخطی (معمولا توان کسری) به دست می آید.
در SMC معمولی، روی سطح لغزش، خطا به صورت نمایی به صفر می رسد (همگرایی مجانبی، یعنی در زمان بی نهایت). در TSMC، سطح لغزش به صورت زیر تعریف می شود:
\[ s = \dot{e} + \beta e^{q/p} \]که در آن p و q اعداد فرد مثبت با q < p هستند. با این سطح، وقتی s=0، معادله
\[ \dot{e} = -\beta e^{q/p} \]داریم که حل آن نشان می دهد e در زمان محدود به صفر می رسد.
کاربردها: سیستم هایی که نیاز به دقت بالا و همگرایی سریع دارند، کنترل ربات های دقیق، کنترل فضاپیما برای مانورهای سریع، ردیابی مسیر با دقت بالا، سیستم های با محدودیت زمانی.
✅ مزایا: همگرایی در زمان محدود (نه مجانبی)، دقت بالاتر در حالت ماندگار، پاسخ سریع تر، عملکرد خوب نزدیک نقطه تعادل.
⚠️ معایب: احتمال مفرد شدن کنترل (کنترل بینهایت) در برخی شرایط، چترینگ شدیدتر، طراحی پیچیده تر.
مشکل اصلی TSMC، پدیده مفردشدگی (singularity) است. در برخی مناطق فضای حالت، قانون کنترل به مقادیر بسیار بزرگ (بینهایت تئوریک) نیاز دارد که غیرعملی است. برای رفع این مشکل، نسخه هایی مانند TSMC غیرمفرد (NTSMC) توسعه یافته اند.
زمان همگرایی در TSMC قابل محاسبه است:
\[ t_f = \frac{p}{\beta(p-q)} |e(0)|^{(p-q)/p} \]مثال: یک بازوی رباتیک جراحی که باید با دقت میکرومتری و در زمان بسیار کوتاه به نقطه مطلوب برسد. TSMC می تواند تضمین کند که خطا در مثلا ۰.۱ ثانیه به صفر می رسد، نه در زمان بی نهایت.
نسخه های توسعه یافته TSMC شامل TSMC سریع (FTSMC) که هم برای خطاهای بزرگ و هم کوچک سرعت خوبی دارد، و TSMC غیرمفرد (NTSMC) که مشکل مفردشدگی را حل می کند.
