کنترل کننده رگولاتور مربعی خطی انتگرالی (Linear Quadratic Integral Controller یا LQI)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع کنترل کننده ها (Controller) را در آموزش زیر شرح دادیم :
کنترل کننده رگولاتور مربعی خطی انتگرالی (Linear Quadratic Integral Controller یا LQI) :
LQR با قابلیت حذف خطای ماندگار
کنترل کننده رگولاتور مربعی خطی انتگرالی یا LQI نسخه توسعه یافته LQR است که برای حذف خطای حالت ماندگار در حضور اغتشاشات یا عدم تطابق مدل طراحی شده است. LQI با افزودن حالت های انتگرالی خطا به بردار حالت، تضمین می کند که خروجی سیستم در نهایت به مقدار مطلوب برسد.
در LQI، ابتدا یک بردار حالت جدید تعریف می کنیم که شامل حالت های اصلی و انتگرال خطای خروجی است:
\[ \dot{x}_I = y - r = C x - r \]سپس سیستم افزوده به صورت زیر نوشته می شود:
\[ \begin{bmatrix} \dot{x} \\ \dot{x}_I \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A & 0 \\ C & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ x_I \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} B \\ 0 \end{bmatrix} u \]کاربردها: کنترل موقعیت در سروو موتورها (که باید خطای موقعیت صفر شود)، کنترل دما در کوره ها، کنترل سطح در مخازن، و هر جایی که نیاز به ردیابی دقیق نقطه مطلوب بدون خطای ماندگار است.
✅ مزایا: حذف خطای ماندگار (مشابه انتگرال گیر در PID)، ترکیب مزایای LQR با انتگرال گیر، پایداری تضمین شده.
⚠️ معایب: افزایش ابعاد سیستم (و در نتیجه محاسبات بیشتر)، احتمال ایجاد نوسان (پدیده انتگرال گیر)، نیاز به تنظیم وزن انتگرال.
تابع هزینه در LQI به صورت زیر تعریف می شود:
\[ J = \int_{0}^{\infty} (x_a^T Q_a x_a + u^T R u) dt \]که در آن x_a بردار حالت افزوده است. با حل معادله ریکاتی برای سیستم افزوده، بهره کنترل K = [Kx Ki] به دست می آید. قانون کنترل نهایی: u = -Kx x - Ki x_I.
مثال: یک موتور DC می خواهیم با دقت به زاویه مشخصی برسد. اگر فقط از LQR استفاده کنیم، ممکن است خطای ماندگار داشته باشیم (مثلا به دلیل اصطکاک). LQI با افزودن انتگرال خطای زاویه، این خطا را حذف می کند.
انتخاب وزن حالت انتگرالی (در Q_a) مهم است. اگر این وزن زیاد باشد، خطا سریعتر حذف می شود اما ممکن است نوسان ایجاد کند. اگر کم باشد، حذف خطا کند است.
LQI معادل یک کنترل کننده PI برای هر خروجی است، اما با قابلیت در نظر گرفتن اندرکنش بین خروجی ها (چندمتغیره).
