کنترل کننده رگولاتور مربعی خطی گاوسی (Linear Quadratic Gaussian Controller یا LQG)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع کنترل کننده ها (Controller) را در آموزش زیر شرح دادیم :
کنترل کننده رگولاتور مربعی خطی گاوسی (Linear Quadratic Gaussian Controller یا LQG) :
ترکیب LQR و فیلتر کالمن برای سیستم های نویزی
کنترل کننده رگولاتور مربعی خطی گاوسی یا LQG ترکیبی از کنترل کننده LQR و فیلتر کالمن (تخمین گر بهینه) است. LQG برای سیستم هایی طراحی شده است که هم نویز فرآیند دارند و هم نویز اندازه گیری، و همه حالت ها مستقیما قابل اندازه گیری نیستند. فرض می شود نویزها گاوسی سفید هستند.
مدل سیستم با در نظر گرفتن نویز:
\[ \dot{x} = A x + B u + w \] \[ y = C x + v \]در این روابط، w نویز فرآیند و v نویز اندازه گیری هستند.
کاربردها: کنترل هواپیما در حضور اغتشاشات جوی، کنترل فرآیندهای شیمیایی با سنسورهای نویزی، کنترل ربات ها در محیط ناشناخته، سیستم های ناوبری، و صنایع هوافضا.
✅ مزایا: ترکیب بهینه تخمین و کنترل، عملکرد خوب در حضور نویز، طراحی جداگانه (اصل جداسازی)، پایدار بودن حلقه.
⚠️ معایب: تضمین پایداری مقاوم ندارد (برخلاف H∞)، به مدل دقیق نویز نیاز دارد، ممکن است حاشیه فاز خوبی نداشته باشد.
اصل جداسازی (Separation Principle) می گوید که طراحی کنترل کننده و تخمین گر می تواند جداگانه انجام شود. ابتدا فیلتر کالمن را برای تخمین بهینه حالت ها طراحی می کنیم، سپس LQR را برای حالت های تخمینی طراحی می کنیم. ترکیب این دو، LQG را می دهد.
فیلتر کالمن با حل معادله ریکاتی وابسته به کوواریانس نویزها طراحی می شود. بهره فیلتر کالمن (L) به صورت زیر است:
\[ L = P_f C^T V^{-1} \]که P_f از معادله ریکاتی فیلتر به دست می آید.
ساختار نهایی LQG: تخمین حالت با فیلتر کالمن + قانون کنترل u = -K \hat{x}.
مثال: یک خودروی خودران باید در مسیر حرکت کند. موقعیت خودرو با GPS اندازه گیری می شود که نویز دارد. LQG با تخمین دقیق موقعیت (فیلتر کالمن) و اعمال کنترل بهینه (LQR) خودرو را در مسیر نگه می دارد.
ضعف LQG این است که برخلاف LQR، تضمینی برای حاشیه فاز خوب ندارد. گاهی اوقات سیستم LQG حاشیه فاز بسیار کمی دارد که مشکل ساز می شود. برای رفع این مشکل، روش های مقاوم مانند H∞ بهتر عمل می کنند.
