کنترل کننده رگولاتور مربعی خطی (Linear Quadratic Regulator یا LQR)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع کنترل کننده ها (Controller) را در آموزش زیر شرح دادیم :
کنترل کننده رگولاتور مربعی خطی (Linear Quadratic Regulator یا LQR) :
بهترین کنترل خطی با معیار درجه دوم
کنترل کننده رگولاتور مربعی خطی یا LQR یک روش کنترل بهینه برای سیستم های خطی است که در آن تابع هزینه به صورت مجموع انتگرال مربعات حالت ها و ورودی ها تعریف می شود. LQR یکی از پایه ای ترین و پرکاربردترین روش های کنترل مدرن است.
فرض کنید سیستم به صورت فضای حالت خطی داده شده است:
\[ \dot{x} = A x + B u \]تابع هزینه در LQR به صورت زیر تعریف می شود:
\[ J = \int_{0}^{\infty} (x^T Q x + u^T R u) dt \]در این رابطه، Q ماتریس وزن حالت ها (نشان دهنده اهمیت هر حالت) و R ماتریس وزن ورودی ها (نشان دهنده هزینه مصرف انرژی) است.
کاربردها: طراحی کنترل برای هواپیماها و فضاپیماها، کنترل ربات ها، کنترل موتورهای الکتریکی، سیستم های تعلیق فعال خودرو، و هر سیستم خطی که نیاز به عملکرد بهینه دارد.
✅ مزایا: طراحی سیستماتیک و تحلیلی، حل بسته با معادله ریکاتی، تضمین پایداری (تحت شرایط)، تنظیم سیستماتیک با تغییر Q و R.
⚠️ معایب: نیاز به همه حالت ها (در صورت نبود، باید از مشاهده گر استفاده کرد)، برای سیستم های غیرخطی مستقیم کاربرد ندارد، انتخاب Q و R ممکن است تجربی باشد.
جواب مسئله LQR یک قانون کنترل پسخورد حالت خطی است: u = -K x، که در آن بهره K از حل معادله ریکاتی جبری به دست می آید:
\[ A^T P + P A - P B R^{-1} B^T P + Q = 0 \] \[ K = R^{-1} B^T P \]LQR تضمین می کند که سیستم حلقه بسته پایدار است (اگر (A,B) پایدارپذیر و (A,Q) مشاهده پذیر باشد).
انتخاب ماتریس های Q و R مهم ترین بخش طراحی LQR است. Q بزرگ یعنی اهمیت زیادی به کاهش حالت ها می دهیم (پاسخ سریع تر، اما ورودی بزرگ تر). R بزرگ یعنی اهمیت به کاهش مصرف انرژی (ورودی کوچک تر، اما پاسخ کندتر).
مثال: یک بازوی رباتیک می خواهیم با کمترین نوسان به موقعیت مطلوب برسد. ماتریس Q را طوری انتخاب می کنیم که به خطای موقعیت وزن بالایی بدهیم و R را طوری که گشتاور موتور محدود باشد. LQR بهره مناسب را محاسبه می کند.
اگر همه حالت ها قابل اندازه گیری نباشند، LQR را با یک مشاهده گر (مثل فیلتر کالمن) ترکیب می کنیم که نتیجه آن LQG است.
