کنترل کننده ماتریس پویا (Dynamic Matrix Controller یا DMC)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع کنترل کننده ها (Controller) را در آموزش زیر شرح دادیم :
کنترل کننده ماتریس پویا (Dynamic Matrix Controller یا DMC) :
اولین نسل کنترل کننده های پیش بین صنعتی
کنترل کننده ماتریس پویا یا DMC یکی از اولین و معروف ترین روش های کنترل پیش بین است که در دهه ۱۹۷۰ توسط صنایع شیمیایی توسعه یافت. DMC از مدل پاسخ ضربه یا پاسخ پله سیستم برای پیش بینی استفاده می کند. این روش نیازی به مدل فضای حالت ندارد و مستقیما از داده های آزمایشی استفاده می کند.
در DMC، مدل سیستم به صورت بردار ضرایب پاسخ پله (Si) ذخیره می شود. پیش بینی خروجی با استفاده از اصل جمع آثار (superposition) محاسبه می شود:
\[ \hat{y}(k+j) = \sum_{i=1}^{N} S_i \Delta u(k+j-i) + d(k+j) \]در این رابطه، S_i ضرایب پاسخ پله و Δu تغییرات ورودی هستند.
کاربردها: صنایع پتروشیمی و پالایشگاه ها (جایی که آزمایش پاسخ پله به راحتی قابل انجام است)، کنترل برج های تقطیر، راکتورهای شیمیایی، و فرآیندهای با دینامیک نسبتا آهسته.
✅ مزایا: سادگی درک و پیاده سازی، نیاز به مدل ریاضی پیچیده ندارد (فقط داده های آزمایشی)، عملکرد خوب برای سیستم های با تأخیر، محبوب در صنعت.
⚠️ معایب: برای سیستم های ناپایدار یا نوسانی مناسب نیست، نیاز به تعداد زیادی ضرایب (افزایش ابعاد)، برای سیستم های چندمتغیره با تعداد ورودی/خروجی زیاد سنگین می شود.
مراحل طراحی DMC: ۱) انجام آزمایش پاسخ پله بر روی سیستم و ثبت ضرایب پاسخ، ۲) ساخت ماتریس دینامیک (ماتریسی از ضرایب پاسخ)، ۳) تعریف مسئله بهینه سازی برای یافتن دنباله تغییرات ورودی، ۴) حل مسئله حداقل مربعات.
ماتریس دینامیک در DMC یک ماتریس پایین مثلثی است که رابطه بین تغییرات ورودی و خروجی های آینده را نشان می دهد:
\[ \mathbf{Y} = \mathbf{G} \mathbf{\Delta U} + \mathbf{Y_0} \]DMC معمولا از یک تابع هزینه درجه دوم استفاده می کند که شامل مجموع مربعات خطای پیش بینی و مجموع مربعات تغییرات ورودی است. این مسئله یک مسئله حداقل مربعات خطی است که حل تحلیلی دارد.
مثال: در یک کوره صنعتی، یک آزمایش پاسخ پله انجام می دهیم (مقدار سوخت را یکباره افزایش می دهیم) و تغییرات دما را ثبت می کنیم. از این داده ها برای ساخت مدل DMC استفاده می کنیم. سپس کنترل کننده DMC می تواند دمای کوره را با دقت خوبی کنترل کند.
DMC هنوز هم در بسیاری از صنایع فرآیندی استفاده می شود، اگرچه نسخه های پیشرفته تر MPC جایگزین آن شده اند.
