کنترل کننده نمونه برداری شده (Sampled-Data Controller)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع کنترل کننده ها (Controller) را در آموزش زیر شرح دادیم :
کنترل کننده نمونه برداری شده (Sampled-Data Controller) :
پل بین دنیای پیوسته و گسسته
کنترل کننده نمونه برداری شده یا Sampled-Data Controller نوعی کنترل کننده است که در آن سیگنال خطا به صورت گسسته (در لحظات مشخص) اندازه گیری می شود و کنترل کننده خروجی را در همان لحظات محاسبه می کند. این کنترل کننده در سیستم های دیجیتال و کامپیوتری کاربرد دارد.
در این سیستم ها، یک مبدل آنالوگ به دیجیتال (ADC) در ورودی و یک مبدل دیجیتال به آنالوگ (DAC) در خروجی وجود دارد. کنترل کننده معمولا یک ریزپردازنده یا کامپیوتر است که الگوریتم کنترل را اجرا می کند.
فرمول ریاضی برای نمونه برداری با دوره نمونه برداری T:
\[ e[k] = e(kT) \quad , \quad k = 0,1,2,... \] \[ u(t) = u[k] \quad \text{for} \quad kT \leq t < (k+1)T \]کنترل کننده PID نمونه برداری شده به صورت زیر نوشته می شود (با تقریب انتگرال و مشتق):
\[ u[k] = K_p e[k] + K_i T \sum_{j=0}^{k} e[j] + \frac{K_d}{T} (e[k] - e[k-1]) \]کاربردها: تمام سیستم های کنترل دیجیتال، از کنترل کننده های صنعتی PLC گرفته تا سیستم های کنترل خودرو و هواپیما.
✅ مزایا: امکان پیاده سازی الگوریتم های پیچیده، انعطاف پذیری بالا، قابلیت تغییر برنامه بدون تغییر سخت افزار، دقت بالا.
⚠️ معایب: خطای ناشی از نمونه برداری (از دست رفتن اطلاعات بین نمونه ها)، پدیده علیاسینگ (aliasing)، نیاز به انتخاب نرخ نمونه برداری مناسب، تأخیر زمانی.
انتخاب دوره نمونه برداری T بسیار مهم است. اگر T خیلی بزرگ باشد، اطلاعات زیادی از دست می رود و سیستم ممکن است ناپایدار شود. اگر T خیلی کوچک باشد، بار محاسباتی زیاد می شود و ممکن است نویز تقویت شود.
قضیه نمونه برداری نایکویست-شنون می گوید: نرخ نمونه برداری باید حداقل دو برابر بالاترین فرکانس موجود در سیگنال باشد تا اطلاعات از دست نرود.
از نظر ریاضی، تحلیل سیستم های نمونه برداری شده با تبدیل Z و تبدیل لاپلاس گسسته انجام می شود. یک سیستم نمونه برداری شده می تواند به صورت یک سیستم گسسته زمان مدل سازی شود.
