مدل قیمت گذاری Martingale (انگلیسی : Martingale Pricing Model)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع مدل های قیمت گذاری (Pricing Models) را در آموزش زیر شرح دادیم :

مدل قیمت گذاری Martingale (انگلیسی : Martingale Pricing Model) :

مدل قیمت گذاری Martingale یک چارچوب ریاضی در قیمت گذاری مشتقات است که بر اساس مفهوم "Martingale" در فرآیندهای تصادفی بنا شده است. یک فرآیند Martingale فرآیندی است که بهترین پیش بینی برای مقدار آینده آن، مقدار فعلی آن است. در قیمت گذاری مشتقات، با تغییر معیار احتمال به "معیار خنثی نسبت به ریسک" (Risk-Neutral Measure)، قیمت تنزیل شده دارایی پایه به یک Martingale تبدیل می شود. این امر قیمت گذاری را بسیار ساده می کند، زیرا قیمت یک اختیار برابر است با ارزش مورد انتظار تنزیل شده بازده آن تحت معیار خنثی نسبت به ریسک.

تعریف Martingale:

یک فرآیند تصادفی

\[ X_t \]

یک Martingale نسبت به یک معیار احتمال

\[ P \]

و یک فیلتراسیون

\[ F_t \]

است اگر:

\[ E^P[X_T | F_t] = X_t \quad \text{برای همه } t \leq T \]

یعنی بهترین پیش بینی مقدار آینده، مقدار فعلی است.

معیار خنثی نسبت به ریسک (Risk-Neutral Measure):

در دنیای واقعی، سرمایه گذاران ریسک گریز هستند و بازده مورد انتظار دارایی ها بیشتر از نرخ بدون ریسک است. با تغییر معیار احتمال به یک معیار جدید (معیار خنثی نسبت به ریسک، که با

\[ Q \]

نشان داده می شود)، می توانیم طوری رفتار کنیم که گویی همه سرمایه گذاران نسبت به ریسک خنثی هستند. در این معیار، قیمت تنزیل شده همه دارایی ها Martingale هستند.

قیمت گذاری اختیار با استفاده از Martingale:

قیمت یک اختیار اروپایی با بازده

\[ Payoff(S_T) \]

در سررسید

\[ T \]

برابر است با:

\[ C_t = e^{-r(T-t)} E^Q[Payoff(S_T) | F_t] \]

این فرمول پایه ای برای قیمت گذاری با روش های مونت کارلو و تحلیل عددی است.

🔑 قضیه اساسی قیمت گذاری دارایی ها (Fundamental Theorem of Asset Pricing):

این قضیه بیان می کند که یک بازار بدون آربیتراژ است اگر و فقط اگر یک معیار Martingale معادل (معیار خنثی نسبت به ریسک) وجود داشته باشد. این قضیه ارتباط عمیقی بین عدم آربیتراژ و قیمت گذاری Martingale برقرار می کند.

مثال: قیمت گذاری اختیار خرید با Martingale:

📘 مثال:

فرض کنید قیمت سهم

\[ S_0=100 \]

، نرخ بهره

\[ r=0.05 \]

، سررسید

\[ T=1 \]

، و تحت معیار خنثی نسبت به ریسک،

\[ S_T \]

دارای توزیع لوگ نرمال است. قیمت اختیار خرید با قیمت اعمال

\[ K=100 \]

برابر است با

\[ e^{-0.05} E^Q[\max(S_T-100,0)] \]

کاربردها:

قیمت گذاری اختیار معامله و مشتقات (به ویژه با روش مونت کارلو).

مدل سازی نرخ بهره و قیمت گذاری اوراق قرضه.

تحلیل ریسک و مدیریت پرتفوی.