مدل قیمت گذاری ارزش مشروط در معرض ریسک (Conditional VaR - CVaR Pricing)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع مدل های قیمت گذاری (Pricing Models) را در آموزش زیر شرح دادیم :
مدل قیمت گذاری ارزش مشروط در معرض ریسک (Conditional VaR - CVaR Pricing) :
مدل قیمت گذاری ارزش مشروط در معرض ریسک (Conditional Value at Risk - CVaR) که به عنوان Expected Shortfall (ES) نیز شناخته می شود، یک معیار ریسک است که بر ضعف اصلی VaR (یعنی نادیده گرفتن بزرگی ضررهای فراتر از سطح اطمینان) غلبه می کند. CVaR میانگین ضررها در بدترین
\[ (1-\alpha) \]درصد موارد را نشان می دهد (یعنی میانگین ضررهایی که از VaR فراتر می روند). CVaR یک معیار ریسک هم نوا (Coherent) است و در مدیریت ریسک و بهینه سازی پرتفوی کاربرد گسترده ای دارد.
تعریف CVaR:
برای یک پرتفوی با توزیع بازده
\[ L \](ضرر) و سطح اطمینان
\[ \alpha \](مثلا ۹۵٪)، CVaR برابر است با:
\[ CVaR_\alpha = E[L | L > VaR_\alpha] \]به عبارت دیگر، CVaR میانگین ضررهایی است که از آستانه VaR عبور می کنند.
مقایسه VaR و CVaR:
VaR: "حداکثر ضرری که با احتمال ۹۵٪ رخ می دهد" (یک چندک).
CVaR: "میانگین ضرر در ۵٪ بدترین موارد" (میانگین دنباله توزیع).
CVaR اطلاعات بیشتری درباره ریسک دنباله (Tail Risk) می دهد.
🔑 کاربرد CVaR در بهینه سازی پرتفوی:
در بهینه سازی پرتفوی، می توان هدف را حداقل سازی CVaR قرار داد (به جای واریانس). این کار منجر به پرتفویی می شود که در برابر رویدادهای نادر و زیان های سنگین مقاوم تر است. CVaR در مقررات بازل III نیز به عنوان معیار اصلی ریسک بازار پذیرفته شده است.
مثال: محاسبه CVaR با استفاده از شبیه سازی:
📘 مثال:
با استفاده از ۱۰۰۰۰ شبیه سازی بازده یک پرتفوی، بازده ها را به ضرر تبدیل کرده و مرتب می کنیم. برای سطح اطمینان ۹۵٪، ۵۰۰۰ تا از بدترین ضررها (۵۰٪؟) اشتباه! برای سطح اطمینان ۹۵٪، ۵٪ بدترین موارد (۵۰۰ مورد) را در نظر می گیریم. میانگین این ۵۰۰ مورد CVaR است. اگر VaR در این سطح ۲ میلیون تومان باشد، CVaR ممکن است ۳ میلیون تومان باشد (یعنی میانگین ضرر در ۵٪ بدترین موارد ۳ میلیون است).
مثال: مقایسه دو پرتفوی با VaR و CVaR:
پرتفوی A و B هر دو VaR روزانه ۱ میلیون تومان در سطح ۹۵٪ دارند. اما پرتفوی A دارای CVaR ۲ میلیون و پرتفوی B دارای CVaR ۱.۵ میلیون است. این نشان می دهد پرتفوی A در شرایط بحرانی (۵٪ بدترین موارد) زیان بیشتری نسبت به پرتفوی B خواهد داشت. بنابراین پرتفوی B از نظر ریسک دنباله بهتر است.
کاربردها:
بهینه سازی پرتفوی با هدف حداقل سازی ریسک دنباله.
مدیریت ریسک بانک ها و مؤسسات مالی (مطابق با بازل III).
قیمت گذاری محصولات بیمه ای و مشتقات با ریسک دنباله بالا.
تخصیص سرمایه بر اساس ریسک (Risk-Based Capital).
