مدل واریانس گاما (Variance Gamma Pricing Model)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع مدل های قیمت گذاری (Pricing Models) را در آموزش زیر شرح دادیم :

مدل واریانس گاما (Variance Gamma Pricing Model) :

مدل واریانس گاما (Variance Gamma - VG) یک مدل قیمت گذاری اختیار معامله است که توسط مادان، کار و چانگ در سال 1998 معرفی شد. این مدل یک فرآیند پرش با فعالیت نامتناهی (Infinite Activity) است که می تواند چولگی (Skewness) و کشیدگی (Kurtosis) بیشتری نسبت به مدل بلک-شولز ایجاد کند و با داده های بازار (لبخند نوسان) بهتر تطابق یابد. VG یک مدل نمایی لوگ نرمال با زمان تصادفی (Random Time Change) است.

فرمول بندی مدل VG:

در مدل VG، فرآیند قیمت به صورت زیر تعریف می شود:

\[ S_t = S_0 \exp\left( (r - q + \omega)t + X_t(\sigma, \nu, \theta) \right) \]

که

\[ X_t(\sigma, \nu, \theta) \]

یک فرآیند واریانس گاما است و

\[ \omega \]

یک عبارت تصحیح (Convexity Correction) است به گونه ای که

\[ \mathbb{E}[e^{X_t}] = 1 \]

. فرآیند VG دارای سه پارامتر است:

\[ \sigma \]

: نوسان کلی (Volatility).

\[ \nu \]

: نرخ واریانس (Variance Rate) - پارامتر شکل که کشیدگی (Kurtosis) را کنترل می کند.

\[ \theta \]

: پارامتر عدم تقارن (Skewness) که چولگی توزیع را کنترل می کند.

مزایای مدل VG نسبت به بلک-شولز:

توانایی مدل سازی دنباله های پهن (Fat Tails) و چولگی در توزیع بازده ها.

تطابق بهتر با ساختار نوسان ضمنی (Implied Volatility Smile/Skew) در بازارهای اختیار معامله.

فرآیندی با پرش های نامتناهی (در هر بازه زمانی بینهایت پرش کوچک رخ می دهد) که رفتار واقعی تری نسبت به مدل های پرش محدود دارد.

🔑 تابع چگالی احتمال در VG:

توزیع بازده های لگاریتمی در مدل VG، یک توزیع واریانس گاما است که ترکیبی از توزیع نرمال و گاما می باشد. این توزیع دارای چولگی و کشیدگی اضافی نسبت به نرمال است.

مثال: مقایسه قیمت اختیار با VG و بلک-شولز:

📘 مثال:

فرض کنید سهامی با قیمت ۱۰۰، نرخ بهره ۵٪، و سررسید ۳ ماه. در بازار، اختیار خرید با قیمت اعمال ۹۰ (درون قیمت) و ۱۱۰ (برون قیمت) معامله می شود. مدل بلک-شولز با یک نوسان ثابت نمی تواند هر دو قیمت را به طور همزمان توضیح دهد. مدل VG با پارامترهای مناسب (

\[ \nu \]

و

\[ \theta \]

) می تواند نوسان ضمنی متفاوت برای قیمت های اعمال مختلف (لبخند نوسان) را بازتولید کند. معمولا اختیارهای برون قیمت در VG گران تر از بلک-شولز هستند.

کاربردها:

قیمت گذاری اختیار معامله در بازارهایی که توزیع بازده ها دارای دنباله های پهن است (بیشتر بازارها).

مدل سازی ریسک و محاسبه Value at Risk با در نظر گرفتن رویدادهای نادر.

تحلیل ساختار نوسان ضمنی و استراتژی های معاملاتی.