مدل فرآیند پرش-دیفیوژن (Jump-Diffusion Pricing Model)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع مدل های قیمت گذاری (Pricing Models) را در آموزش زیر شرح دادیم :

مدل فرآیند پرش-دیفیوژن (Jump-Diffusion Pricing Model) :

مدل فرآیند پرش-دیفیوژن (Jump-Diffusion Model) ترکیبی از حرکت براونی هندسی (برای نوسانات عادی و پیوسته) و یک فرآیند پرش (برای جهش های ناگهانی) است. این مدل توسط رابرت مرتون در سال 1976 معرفی شد تا محدودیت های مدل بلک-شولز (که فقط نوسانات پیوسته را در نظر می گیرد) را برطرف کند. مدل پرش-دیفیوژن می تواند پدیده هایی مانند "لبخند نوسان" و دنباله های پهن (Fat Tails) در توزیع بازده ها را بهتر توضیح دهد.

معادله دیفرانسیل تصادفی در مدل پرش-دیفیوژن:

\[ \frac{dS_t}{S_{t-}} = \mu dt + \sigma dW_t + dJ_t \]

که

\[ J_t \]

یک فرآیند پرش مرکب (Compound Poisson) است:

\[ J_t = \sum_{i=1}^{N_t} (Y_i - 1) \]

\[ N_t \]

: فرآیند پواسون با نرخ

\[ \lambda \]

(تعداد پرش ها).

\[ Y_i \]

: اندازه پرش i (متغیر تصادفی مثبت). معمولا فرض می شود

\[ \ln Y_i \sim N(\mu_J, \sigma_J^2) \]

(توزیع لوگ نرمال).

قیمت گذاری اختیار در مدل پرش-دیفیوژن:

در مدل مرتون، با فرض اینکه ریسک پرش غیرقابل پوشش است (Non-diversifiable) و فرضیات خاصی درباره تابع مطلوبیت سرمایه گذاران، قیمت اختیار به صورت میانگین وزنی از قیمت های بلک-شولز با نوسان های مختلف به دست می آید:

\[ C_{Merton} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{e^{-\lambda' T} (\lambda' T)^n}{n!} C_{BS}(S_0, K, r_n, \sigma_n, T) \]

که در آن

\[ \lambda' = \lambda (1 + k) \]

(نرخ پرش تعدیل شده)،

\[ k = E[Y-1] \]

،

\[ r_n = r - \lambda k + n \ln(1+k)/T \]

، و

\[ \sigma_n = \sqrt{\sigma^2 + n \sigma_J^2 / T} \]

.

🔑 تأثیر پرش ها بر قیمت اختیار:

وجود پرش ها باعث می شود که اختیارهای برون قیمت (Out-of-the-Money) ارزش بیشتری نسبت به مدل بلک-شولز داشته باشند، زیرا احتمال رسیدن قیمت به محدوده درون قیمت از طریق یک پرش افزایش می یابد. این پدیده به توضیح "لبخند نوسان" کمک می کند.

مثال: قیمت گذاری اختیار خرید با مدل مرتون:

📘 مثال:

فرض کنید سهامی با قیمت ۱۰۰، نوسان ۲۰٪، نرخ پرش ۱۰٪ (λ=0.1)، اندازه متوسط پرش ۵٪ کاهش (یعنی Y به طور متوسط 0.95، اما ممکن است مثبت یا منفی باشد). برای اختیار خرید با قیمت اعمال ۱۱۰، قیمت محاسبه شده با مدل مرتون بیشتر از بلک-شولز (با σ=20%) خواهد بود، زیرا احتمال رسیدن قیمت به ۱۱۰ از طریق یک پرش وجود دارد.

کاربردها:

قیمت گذاری اختیار معامله در بازارهایی با رویدادهای غیرمنتظره (مانند سهام شرکت های بیوتکنولوژی).

مدل سازی ریسک های نادر اما با تأثیر زیاد (Rare Events).

مدیریت ریسک و تحلیل سناریوهای بحرانی.