مدل فرآیند پرش (Jump Process Pricing Model)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع مدل های قیمت گذاری (Pricing Models) را در آموزش زیر شرح دادیم :

مدل فرآیند پرش (Jump Process Pricing Model) :

مدل فرآیند پرش (Jump Process) یک فرآیند تصادفی است که برای مدل سازی تغییرات ناگهانی و گسسته در قیمت دارایی ها (مانند سقوط یا جهش ناگهانی ناشی از اخبار مهم، سودهای غیرمنتظره، یا بحران ها) استفاده می شود. برخلاف حرکت براونی که مسیرهای پیوسته دارد، فرآیند پرش جهش های آنی ایجاد می کند. معروف ترین نوع آن، فرآیند پواسون مرکب (Compound Poisson Process) است که در مدل مرتون برای قیمت گذاری اختیار به کار رفته است.

فرآیند پواسون (Poisson Process):

یک فرآیند شمارش

\[ N_t \]

که تعداد رویدادهای (پرش های) رخ داده تا زمان t را نشان می دهد. با نرخ شدت (Intensity)

\[ \lambda \]

، احتمال وقوع یک پرش در بازه زمانی کوتاه

\[ dt \]

برابر

\[ \lambda dt \]

است.

فرآیند پرش مرکب (Compound Poisson Process):

در این فرآیند، اندازه پرش ها (

\[ Y_i \]

) نیز تصادفی هستند (با توزیع مشخص). قیمت دارایی با مدل زیر توصیف می شود:

\[ dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t + S_{t-} dJ_t \]

که

\[ J_t \]

یک فرآیند پرش مرکب است:

\[ J_t = \sum_{i=1}^{N_t} (Y_i - 1) \]

. اگر پرشی رخ دهد، قیمت جدید

\[ S_t = S_{t-} Y_i \]

می شود.

🔑 مدل مرتون (Merton's Jump-Diffusion Model):

مدل مرتون (1976) با افزودن جزء پرش به GBM، سعی کرد پدیده "لبخند نوسان" (Volatility Smile) را توضیح دهد. در این مدل، بازده کل دارایی شامل یک جزء دیفیوژن (نوسانات عادی) و یک جزء پرش (رویدادهای غیرعادی) است.

مثال: شبیه سازی قیمت با پرش:

📘 مثال:

فرض کنید سهامی با نوسان ۱۵٪ و نرخ پرش ۵٪ (یعنی به طور متوسط هر ۲۰ روز یک پرش). اندازه پرش ها به طور متوسط ۱۰٪ کاهش (یا افزایش) قیمت است. با شبیه سازی، می بینیم که در برخی روزها قیمت جهش یا سقوط ناگهانی دارد که در GBM خالص دیده نمی شود.

کاربردها:

قیمت گذاری اختیار معامله در بازارهایی با ریسک پرش (مانند سهام شرکت های کوچک).

مدل سازی رویدادهای غیرمنتظره مانند سودهای فصلی، بحران های مالی.

مدیریت ریسک و محاسبه Value at Risk در شرایط بحرانی.