مدل حرکت براونی هندسی (Geometric Brownian Motion - GBM for Pricing)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع مدل های قیمت گذاری (Pricing Models) را در آموزش زیر شرح دادیم :

مدل حرکت براونی هندسی (Geometric Brownian Motion - GBM for Pricing) :

مدل حرکت براونی هندسی (Geometric Brownian Motion - GBM) یک فرآیند تصادفی است که به طور گسترده برای مدل سازی قیمت دارایی های مالی مانند سهام و شاخص ها استفاده می شود. برخلاف حرکت براونی ساده، GBM تضمین می کند که قیمت همیشه مثبت باقی می ماند، که با ماهیت دارایی ها سازگار است. این مدل پایه و اساس مدل بلک-شولز را تشکیل می دهد.

معادله دیفرانسیل تصادفی GBM:

\[ dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t \]

که در آن:

\[ S_t \]

: قیمت دارایی در زمان t

\[ \mu \]

: نرخ بازده مورد انتظار (درصدی)

\[ \sigma \]

: نوسان (انحراف معیار بازده) - معیار ریسک

\[ dW_t \]

: افزایش حرکت براونی وینر

حل معادله GBM (با استفاده از لم ایتو):

با استفاده از لم ایتو برای تابع

\[ f(S_t) = \ln S_t \]

، داریم:

\[ d(\ln S_t) = (\mu - \frac{\sigma^2}{2})dt + \sigma dW_t \]

با انتگرال گیری از ۰ تا t، به دست می آوریم:

\[ S_t = S_0 \exp\left( (\mu - \frac{\sigma^2}{2})t + \sigma W_t \right) \]

این فرمول نشان می دهد که لگاریتم قیمت (

\[ \ln S_t \]

) دارای توزیع نرمال با میانگین

\[ \ln S_0 + (\mu - \sigma^2/2)t \]

و واریانس

\[ \sigma^2 t \]

است. بنابراین، خود قیمت

\[ S_t \]

دارای توزیع لوگ نرمال (Log-normal) است.

🔑 ویژگی های GBM:

قیمت همیشه مثبت است.

بازده های لگاریتمی (

\[ \ln(S_{t}/S_{t-1}) \]

) به طور مستقل و نرمال توزیع شده اند (البته در دنیای واقعی، بازده ها دنباله های پهن دارند).

نوسان (

\[ \sigma \]

) ثابت است (این فرض در مدل های پیشرفته تر اصلاح می شود).

مثال: شبیه سازی قیمت سهام با GBM:

📘 مثال:

قیمت اولیه سهام ۱۰۰ تومان، نوسان ۲۰٪، بازده مورد انتظار ۱۰٪. با استفاده از فرمول گسسته

\[ S_{t+\Delta t} = S_t \exp\left( (\mu - \sigma^2/2)\Delta t + \sigma \sqrt{\Delta t} \epsilon \right) \]

و تولید

\[ \epsilon \sim N(0,1) \]

، می توان مسیرهای مختلف قیمت را برای ۱ سال شبیه سازی کرد. این شبیه سازی ها برای قیمت گذاری اختیار با مونت کارلو استفاده می شود.

کاربردها:

مدل پایه در قیمت گذاری اختیار معامله (بلک-شولز).

شبیه سازی مونت کارلو برای تحلیل ریسک و ارزش گذاری.

مدل سازی قیمت سهام، شاخص ها، ارزها و کالاها (در بسیاری موارد).