مدل حرکت براونی (Brownian Motion Pricing Model)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع مدل های قیمت گذاری (Pricing Models) را در آموزش زیر شرح دادیم :

مدل حرکت براونی (Brownian Motion Pricing Model) :

مدل حرکت براونی (Brownian Motion) یک فرآیند تصادفی پایه ای است که به عنوان سنگ بنای مدل سازی قیمت ها در ریاضیات مالی مدرن عمل می کند. حرکت براونی وینر (Wiener Process) یک فرآیند تصادفی با زمان پیوسته است که افزایش های آن مستقل، نرمال، و با واریانس متناسب با طول بازه زمانی هستند. این فرآیند برای مدل سازی حرکت های تصادفی و غیرقابل پیش بینی قیمت دارایی ها استفاده می شود.

ویژگی های حرکت براونی:

\[ W_0 = 0 \]

افزایش ها مستقل هستند:

\[ W_t - W_s \]

مستقل از

\[ W_s \]

برای

\[ t>s \]

.

افزایش ها نرمال هستند:

\[ W_t - W_s \sim N(0, t-s) \]

.

مسیرها پیوسته اما مشتق ناپذیر (تقریبا هیچ جا مشتق پذیر نیستند).

مدل قیمت گذاری با حرکت براونی:

ساده ترین مدل برای قیمت سهام، حرکت براونی با رانش است:

\[ dS_t = \mu dt + \sigma dW_t \]

اما این مدل می تواند قیمت منفی تولید کند. بنابراین برای دارایی ها معمولا از حرکت براونی هندسی استفاده می شود.

🔑 نقش در مدل بلک-شولز:

مدل بلک-شولز فرض می کند که قیمت دارایی پایه از یک حرکت براونی هندسی (GBM) پیروی می کند که با استفاده از لم ایتو، رابطه بین لگاریتم قیمت و حرکت براونی ساده به دست می آید:

\[ d(\ln S_t) = (\mu - \sigma^2/2)dt + \sigma dW_t \]

.

مثال: شبیه سازی حرکت براونی:

📘 مثال:

برای شبیه سازی یک مسیر حرکت براونی در بازه [0,1] با گام های 0.01، کافی است متغیرهای تصادفی نرمال استاندارد

\[ \epsilon_i \]

تولید کرده و

\[ W_{t_i} = W_{t_{i-1}} + \sqrt{0.01} \epsilon_i \]

را محاسبه کنیم. این مسیر نوسانات تصادفی را نشان می دهد.

کاربردها:

مبانی مدل سازی قیمت ها و نرخ ها.

شبیه سازی مونت کارلو.

قیمت گذاری مشتقات.