مدل قیمت گذاری سوآپ (Swap Pricing Model)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع مدل های قیمت گذاری (Pricing Models) را در آموزش زیر شرح دادیم :

مدل قیمت گذاری سوآپ (Swap Pricing Model) :

مدل قیمت گذاری سوآپ (Swap Pricing Model) روشی برای تعیین نرخ ها و ارزش قراردادهای سوآپ (Swap) است. سوآپ یک قرارداد مشتقه بین دو طرف است که در آن جریان های نقدی آتی بر اساس یک مبلغ اسمی فرضی (Notional Principal) با یکدیگر مبادله می شود. رایج ترین نوع سوآپ، سوآپ نرخ بهره (Interest Rate Swap) است که در آن یک طرف جریان نقدی با نرخ ثابت و طرف دیگر جریان نقدی با نرخ شناور (مثلا بر اساس LIBOR) را مبادله می کنند.

انواع سوآپ:

سوآپ نرخ بهره (Interest Rate Swap - IRS): مبادله نرخ ثابت و شناور.

سوآپ ارزی (Currency Swap): مبادله اصل و بهره به دو ارز مختلف.

سوآپ کالا (Commodity Swap): تثبیت قیمت کالا در طول زمان.

سوآپ اعتباری (Credit Default Swap - CDS): انتقال ریسک اعتباری.

قیمت گذاری سوآپ نرخ بهره (IRS):

در یک سوآپ نرخ بهره، نرخ ثابت (Swap Rate) به گونه ای تعیین می شود که ارزش فعلی جریان های نقدی با نرخ ثابت و شناور در زمان شروع قرارداد برابر باشد (ارزش قرارداد صفر شود).

ارزش فعلی جریان های نقدی با نرخ شناور با استفاده از نرخ های بهره لحظه ای (Forward Rates) محاسبه می شود. نرخ ثابت

\[ C \]

از معادله زیر به دست می آید:

\[ C \sum_{i=1}^{n} \tau_i P(t_i) = \sum_{j=1}^{m} \tau_j f_j P(t_j) \]

که در آن:

\[ P(t_i) \]

: قیمت اوراق بدون کوپن (فاکتور تنزیل) برای سررسید

\[ t_i \]

.

\[ \tau_i \]

: طول دوره بین پرداخت ها (برحسب سال).

\[ f_j \]

: نرخ بهره آتی (Forward Rate) برای دوره j.

در عمل، نرخ ثابت سوآپ از روی منحنی بازده (Yield Curve) استخراج می شود.

🔑 ارزش گذاری یک سوآپ پس از انعقاد:

پس از انعقاد قرارداد، ارزش سوآپ برای هر طرف می تواند مثبت یا منفی شود. ارزش سوآپ (از دیدگاه پرداخت کننده نرخ ثابت) برابر است با تفاوت ارزش فعلی جریان های نقدی دریافتی (شناور) و پرداختی (ثابت).

مثال: محاسبه نرخ ثابت یک سوآپ ساده:

📘 مثال:

فرض کنید یک سوآپ ۲ ساله با پرداخت های سالانه. مبلغ اسمی ۱۰۰ میلیون تومان. نرخ های بهره لحظه ای (Zero Rates) برای سررسیدهای ۱ و ۲ سال به ترتیب ۴٪ و ۵٪ هستند. فاکتورهای تنزیل:

\[ P(1) = e^{-0.04} = 0.9608 \]

،

\[ P(2) = e^{-0.05 \times 2} = e^{-0.1} = 0.9048 \]

. نرخ های آتی (Forward Rates) محاسبه می شوند: نرخ آتی برای سال دوم

\[ f_2 = \frac{P(1)}{P(2)} - 1 = \frac{0.9608}{0.9048} - 1 = 1.0619 - 1 = 0.0619 \]

(۶.۱۹٪). ارزش فعلی جریان های شناور:

\[ 0.04 \times 0.9608 + 0.0619 \times 0.9048 = 0.03843 + 0.05601 = 0.09444 \]

. ارزش فعلی جریان های ثابت:

\[ C \times (0.9608 + 0.9048) = C \times 1.8656 \]

. با مساوی قرار دادن:

\[ C = 0.09444 / 1.8656 = 0.0506 \]

(۵.۰۶٪).

مثال: ارزش یک سوآپ پس از یک سال:

فرض کنید در مثال بالا، پس از یک سال، نرخ های بهره تغییر کرده اند. ارزش سوآپ برای پرداخت کننده نرخ ثابت ۵.۰۶٪ با استفاده از نرخ های جدید محاسبه می شود. اگر نرخ ها افزایش یافته باشند، پرداخت کننده نرخ ثابت سود می کند (زیرا نرخ شناور دریافتی بیشتر می شود).

کاربردها:

مدیریت ریسک نرخ بهره برای شرکت ها و بانک ها.

تبدیل بدهی با نرخ ثابت به شناور و بالعکس.

سفته بازی بر روی تغییرات نرخ بهره.