مدل قیمت گذاری قرارداد آتی (Futures Pricing Model)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع مدل های قیمت گذاری (Pricing Models) را در آموزش زیر شرح دادیم :

مدل قیمت گذاری قرارداد آتی (Futures Pricing Model) :

مدل قیمت گذاری قرارداد آتی (Futures Pricing Model) روشی برای تعیین قیمت منصفانه یک قرارداد آتی (Futures Contract) است. قرارداد آتی یک تعهد الزام آور برای خرید یا فروش یک دارایی (کالا، ارز، سهام، شاخص) در تاریخ آینده با قیمتی است که امروز توافق می شود. تفاوت اصلی قرارداد آتی با قرارداد سلف (Forward) در این است که آتی در بورس های سازمان یافته معامله می شود، استاندارد شده است، و دارای مکانیزم تسویه روزانه (Mark-to-Market) می باشد.

فرمول قیمت گذاری قرارداد آتی (بر اساس مدل حمل و نگهداری - Cost of Carry):

برای دارایی های مالی (مانند سهام و شاخص ها) که هیچ هزینه نگهداری فیزیکی ندارند و می توانند سود سهام پرداخت کنند:

\[ F = S e^{(r - q)T} \]

برای کالاها که دارای هزینه نگهداری (انبارداری، بیمه) و گاهی بازده حمل (Convenience Yield) هستند:

\[ F = S e^{(r + u - y)T} \]

که در آن:

\[ F \]

: قیمت آتی

\[ S \]

: قیمت نقدی (Spot) دارایی

\[ r \]

: نرخ بهره بدون ریسک

\[ q \]

: نرخ سود سهام (یا درآمد حاصل از دارایی)

\[ u \]

: نرخ هزینه نگهداری (برای کالاها)

\[ y \]

: نرخ بازده حمل (Convenience Yield - مزیت نگهداری فیزیکی کالا)

\[ T \]

: زمان تا سررسید

🔑 مفهوم بیس (Basis):

بیس برابر است با

\[ S - F \]

. در بازارهای عادی (Contango)،

\[ F > S \]

و بیس منفی است. در بازارهای معکوس (Backwardation)،

\[ F < S \]

و بیس مثبت است. تغییرات بیس نقش مهمی در استراتژی های هجینگ دارد.

مثال ۱: قیمت گذاری آتی شاخص سهام:

📘 مثال:

شاخص سهام ۱۰۰۰ واحد است. نرخ بهره بدون ریسک ۵٪، نرخ سود سهام ۲٪، سررسید ۶ ماه. قیمت آتی شاخص:

\[ F = 1000 \times e^{(0.05 - 0.02) \times 0.5} = 1000 \times e^{0.015} = 1000 \times 1.0151 = 1015.1 \]

واحد.

مثال ۲: قیمت گذاری آتی طلا:

قیمت نقدی طلا ۲۰۰۰ دلار در هر اونس. نرخ بهره ۴٪، هزینه نگهداری (انبارداری و بیمه) ۱٪، و بازده حمل صفر. سررسید ۱ سال. قیمت آتی:

\[ F = 2000 \times e^{(0.04 + 0.01) \times 1} = 2000 \times e^{0.05} = 2000 \times 1.0513 = 2102.6 \]

دلار.

مثال ۳: آربیتراژ در بازار آتی:

اگر قیمت آتی از فرمول بالا بیشتر باشد (مثلا ۱۰۵۰ برای مثال اول)، یک آربیتراژور می تواند شاخص را نقدا بخرد (با تأمین مالی با نرخ ۵٪) و هم زمان یک قرارداد آتی فروش در قیمت ۱۰۵۰ ببندد. در سررسید، سود بدون ریسک معادل

\[ 1050 - 1015.1 = 34.9 \]

واحد به ازای هر واحد شاخص خواهد داشت.

عوامل مؤثر بر قیمت آتی:

قیمت نقدی دارایی پایه.

نرخ بهره.

هزینه های نگهداری (برای کالاها).

بازده حمل (برای کالاها).

سود سهام (برای سهام).

زمان تا سررسید.

کاربردها:

پوشش ریسک نوسانات قیمت (Hedging).

سفته بازی بر روی جهت قیمت ها.

آربیتراژ بین بازار نقدی و آتی.

کشف قیمت (Price Discovery).