مدل قیمت گذاری اختیار مانع (Barrier Option Pricing Model)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع مدل های قیمت گذاری (Pricing Models) را در آموزش زیر شرح دادیم :

مدل قیمت گذاری اختیار مانع (Barrier Option Pricing Model) :

مدل قیمت گذاری اختیار مانع (Barrier Option Pricing Model) به دسته اختیارهای عجیب و غریب (Exotic Options) تعلق دارد که در آنها وجود (فعال شدن) یا عدم وجود (غیرفعال شدن) اختیار به عبور قیمت دارایی پایه از یک سطح مشخص (مانع) بستگی دارد. این اختیارها نسبت به اختیارهای ساده ارزان تر هستند و برای پوشش ریسک های خاص یا سفته بازی بر روی رویدادهای قیمتی استفاده می شوند.

انواع اختیار مانع:

اختیار ناک این (Knock-In): اگر قیمت به مانع برسد، اختیار فعال می شود.

اختیار ناک اوت (Knock-Out): اگر قیمت به مانع برسد، اختیار از بین می رود (بی ارزش می شود).

هر یک از این دو نوع می توانند با مانع بالا (Up) یا پایین (Down) ترکیب شوند. به عنوان مثال:

Up-and-Out Call: اختیار خرید که اگر قیمت از یک سطح بالاتر (H) عبور کند، از بین می رود.

Down-and-In Put: اختیار فروش که اگر قیمت به یک سطح پایین تر (L) برسد، فعال می شود.

مدل های قیمت گذاری:

برای برخی از انواع اختیار مانع (با فرض حرکت براونی هندسی و مانع ثابت)، فرمول های بسته (Closed-Form) وجود دارد که با استفاده از روش تصویر (Method of Images) به دست می آیند. این فرمول ها معمولا شامل توابع توزیع نرمال دومتغیره هستند. برای حالت های عمومی تر (مانند مانع متغیر) از روش های عددی استفاده می شود.

🔑 فرمول ساده شده برای Up-and-Out Call (اختیار خرید ناک اوت بالا):

قیمت این اختیار برابر است با قیمت اختیار خرید معمولی (اروپایی) منهای یک عبارت تصحیح که احتمال عبور از مانع را در نظر می گیرد. اگر مانع خیلی نزدیک باشد، قیمت می تواند بسیار پایین تر از اختیار معمولی باشد.

مثال: اختیار خرید Down-and-Out بر روی سهام:

📘 مثال:

فرض کنید یک اختیار خرید اروپایی با قیمت اعمال ۱۰۰ تومان و سررسید ۶ ماه. این اختیار یک شرط ناک اوت دارد: اگر قیمت سهام در طول دوره به ۸۰ تومان برسد یا پایین تر بیاید، اختیار از بین می رود. قیمت این اختیار باید کمتر از اختیار معمولی باشد زیرا احتمال لغو شدن وجود دارد.

روش های عددی:

شبیه سازی مونت کارلو: با رصد مسیرهای قیمت و ثبت زمان برخورد به مانع.

روش درخت دوجمله ای: با مشخص کردن گره های مانع.

روش تفاضلات محدود: با اعمال شرایط مرزی در مانع.

کاربردها:

کاهش هزینه پوشش ریسک (حق الزحمه کمتر).

سفته بازی بر روی سطوح کلیدی قیمت (مثلا انتظار عدم عبور از یک سطح).

اوراق بهادار ساختاریافته (مانند گواهی های سرمایه گذاری با محافظت از سرمایه).