مدل قیمت گذاری اختیار آمریکایی (American Option Pricing Model)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع مدل های قیمت گذاری (Pricing Models) را در آموزش زیر شرح دادیم :
مدل قیمت گذاری اختیار آمریکایی (American Option Pricing Model) :
مدل قیمت گذاری اختیار آمریکایی (American Option Pricing Model) روشی برای تعیین ارزش منصفانه اختیارهایی است که دارنده می تواند در هر زمان قبل از سررسید (تاریخ انقضا) آنها را اعمال کند. این ویژگی انعطاف پذیری بیشتر باعث پیچیدگی قیمت گذاری می شود، زیرا باید امکان اعمال بهینه در هر نقطه از زمان در نظر گرفته شود. اختیارهای سهام معمولا از نوع آمریکایی هستند. مدل های رایج برای قیمت گذاری این اختیارها شامل مدل درخت دوجمله ای و روش های تفاضلات محدود می شود.
ویژگی اختیار آمریکایی:
ارزش یک اختیار آمریکایی در هر لحظه برابر است با حداکثر دو مقدار: (1) ارزش اعمال فوری (Intrinsic Value) و (2) ارزش ادامه (Hold Value) که برابر با ارزش فعلی مورد انتظار اختیار در آینده است. این ویژگی شبیه به یک مسئله بهینه سازی پویا است.
مدل درخت دوجمله ای (Binomial Tree Model):
این مدل با گسسته سازی زمان و قیمت دارایی پایه به یک درخت، امکان اعمال زودهنگام را به سادگی شبیه سازی می کند. در هر گره، ارزش اختیار برابر است با
\[ \max(\text{Intrinsic Value}, e^{-r\Delta t} [p C_u + (1-p) C_d]) \]. با پس گرد از گره های نهایی به گره اول، قیمت اختیار محاسبه می شود.
🔑 شرایط اعمال زودهنگام:
برای اختیار خرید آمریکایی بر روی سهامی که سود سهام پرداخت نمی کند، اعمال زودهنگام هرگز بهینه نیست (زیرا ارزش زمانی همیشه مثبت است). اما اگر سود سهام پرداخت شود، ممکن است درست قبل از تاریخ پرداخت سود، اعمال زودهنگام بهینه باشد. برای اختیار فروش آمریکایی، حتی بدون سود سهام نیز ممکن است اعمال زودهنگام بهینه باشد (به دلیل نرخ بهره مثبت).
مثال: قیمت گذاری اختیار فروش آمریکایی با درخت دوجمله ای:
📘 مثال:
فرض کنید سهامی با قیمت ۱۰۰ تومان، قیمت اعمال ۱۰۰ تومان، زمان تا سررسید ۱ سال، نرخ بهره ۵٪، نوسان ۲۰٪، و بدون سود سهام. با استفاده از یک درخت دوجمله ای دو مرحله ای (هر مرحله ۶ ماه)، قیمت اختیار فروش آمریکایی را محاسبه می کنیم. در گره نهایی، ارزش اختیار
\[ \max(K - S, 0) \]است. در گره های میانی، ارزش اختیار برابر است با
\[ \max(K - S, e^{-r\Delta t} [p P_u + (1-p) P_d]) \]. با انجام این محاسبات، قیمت اختیار فروش آمریکایی معمولا بیشتر از اروپایی به دست می آید.
روش های دیگر قیمت گذاری:
روش تفاضلات محدود (Finite Difference): حل عددی معادله دیفرانسیل بلک-شولز با در نظر گرفتن امکان اعمال زودهنگام.
روش های تحلیلی تقریبی: مانند مدل بارون-آدسی و ویسلی.
مزایای اختیار آمریکایی:
انعطاف پذیری بیشتر برای سرمایه گذار.
مناسب برای پوشش ریسک در شرایط خاص (مثلا اعمال قبل از سود سهام).
معایب:
قیمت گذاری پیچیده تر و نیاز به روش های عددی.
معمولا حق الزحمه (Premium) بالاتری نسبت به اروپایی دارد.
کاربردها:
اختیار سهام در بورس های معتبر (مانند CBOE).
اختیارهای معاملاتی بر روی سهام های انفرادی.
اختیارهای کارکنان برای خرید سهام (Employee Stock Options).
