مدل قیمت گذاری اختیار فروش (Put Option Pricing Model)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع مدل های قیمت گذاری (Pricing Models) را در آموزش زیر شرح دادیم :
مدل قیمت گذاری اختیار فروش (Put Option Pricing Model) :
مدل قیمت گذاری اختیار فروش (Put Option Pricing Model) روشی برای تعیین ارزش منصفانه یک قرارداد اختیار فروش (Put Option) است. اختیار فروش به دارنده خود این حق را می دهد (اما نه الزام) که یک دارایی پایه (مانند سهام، ارز، کالا) را در تاریخ مشخص (سررسید) یا قبل از آن، با قیمت معین (قیمت اعمال - Strike Price) بفروشد. اختیار فروش برای پوشش ریسک کاهش قیمت و یا سفته بازی بر روی کاهش قیمت استفاده می شود. معروف ترین مدل برای قیمت گذاری اختیار فروش اروپایی (قابل اعمال فقط در سررسید)، مدل بلک-شولز است که از رابطه پاریته اختیار خرید و فروش (Put-Call Parity) نیز می توان استفاده کرد.
فرمول بلک-شولز برای اختیار فروش اروپایی:
\[ P = K e^{-rT} N(-d_2) - S_0 N(-d_1) \]که در آن:
\[ P \]
: قیمت اختیار فروش
\[ S_0 \]
: قیمت فعلی دارایی پایه
\[ K \]
: قیمت اعمال
\[ r \]
: نرخ بهره بدون ریسک
\[ \sigma \]
: نوسان (انحراف معیار) بازده دارایی پایه
\[ T \]
: زمان تا سررسید (برحسب سال)
\[ N(\cdot) \]
: تابع توزیع تجمعی نرمال استاندارد
\[ d_1 \]
و
\[ d_2 \]همانند فرمول اختیار خرید هستند.
\[ d_1 = \frac{\ln(\frac{S_0}{K}) + (r + \frac{\sigma^2}{2})T}{\sigma \sqrt{T}} \] \[ d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T} \]رابطه پاریته اختیار خرید و فروش (Put-Call Parity):
برای اختیارهای اروپایی با دارایی پایه یکسان، قیمت اعمال یکسان و سررسید یکسان، رابطه زیر برقرار است:
\[ C - P = S_0 - K e^{-rT} \]با استفاده از این رابطه، اگر قیمت اختیار خرید (
\[ C \]) را داشته باشیم، می توان قیمت اختیار فروش را محاسبه کرد:
\[ P = C - S_0 + K e^{-rT} \].
🔑 مفاهیم پایه در اختیار فروش:
ارزش ذاتی (Intrinsic Value):
\[ \max(K - S_0, 0) \]ارزش زمانی (Time Value):
\[ P - \text{ارزش ذاتی} \]درون قیمت (In-the-Money):
\[ S_0 < K \]برون قیمت (Out-of-the-Money):
\[ S_0 > K \]حساسیت ها (Greeks): دلتا (برای اختیار فروش منفی است)، گاما، وتا، تتا، رو.
مثال: قیمت گذاری اختیار فروش با بلک-شولز:
📘 مثال:
فرض کنید
\[ S_0 = 100 \]،
\[ K = 105 \]،
\[ r = 0.05 \]،
\[ \sigma = 0.2 \]،
\[ T = 0.5 \]سال.
ابتدا
\[ d_1 \]و
\[ d_2 \]را محاسبه می کنیم:
\[ d_1 = \frac{\ln(100/105) + (0.05 + 0.2^2/2) \times 0.5}{0.2 \sqrt{0.5}} = \frac{-0.04879 + (0.05 + 0.02) \times 0.5}{0.1414} = \frac{-0.04879 + 0.035}{0.1414} = \frac{-0.01379}{0.1414} = -0.0975 \] \[ d_2 = -0.0975 - 0.1414 = -0.2389 \] \[ N(-d_1) = N(0.0975) = 0.5388 \]،
\[ N(-d_2) = N(0.2389) = 0.5944 \] \[ P = 105 \times e^{-0.05 \times 0.5} \times 0.5944 - 100 \times 0.5388 = 105 \times 0.9753 \times 0.5944 - 53.88 = 60.87 - 53.88 = 6.99 \]تومان
عوامل مؤثر بر قیمت اختیار فروش:
قیمت دارایی پایه (S): رابطه منفی (هرچه S بالاتر، اختیار فروش ارزان تر).
قیمت اعمال (K): رابطه مثبت (هرچه K بالاتر، اختیار فروش گران تر).
زمان تا سررسید (T): رابطه مثبت (هرچه زمان بیشتر، ارزش بیشتر).
نوسان (σ): رابطه مثبت (نوسان بیشتر، احتمال سود بیشتر).
نرخ بهره (r): رابطه منفی (هرچند ضعیف).
مدل های دیگر برای قیمت گذاری اختیار فروش:
مدل دوجمله ای (Binomial Tree): مناسب برای اختیار فروش آمریکایی (قابل اعمال قبل از سررسید).
مدل های نوسان تصادفی (مانند Heston): برای زمانی که نوسان ثابت نیست.
کاربردها:
پوشش ریسک کاهش قیمت سهام (Hedging).
سفته بازی بر روی کاهش قیمت ها.
قیمت گذاری اوراق بهادار دارای ویژگی اختیار فروش (مانند اوراق با حق بازفروش).
استراتژی های ترکیبی با اختیار خرید (مانند استرادل و استرنگل).
