مدل قیمت گذاری پروبیت (Probit Pricing Model)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع مدل های قیمت گذاری (Pricing Models) را در آموزش زیر شرح دادیم :

مدل قیمت گذاری پروبیت (Probit Pricing Model) :

مدل قیمت گذاری پروبیت (Probit Pricing Model) یکی دیگر از مدل های انتخاب گسسته است که در آن فرض می شود جملات خطا (

\[ \varepsilon_{ij} \]

) دارای توزیع نرمال چندمتغیره هستند. این مدل نسبت به مدل لوجیت انعطاف پذیرتر است و می تواند همبستگی بین گزینه ها را مدل کند، اما فاقد فرم بسته است و محاسبات آن پیچیده تر است. مدل پروبیت به ویژه در مواردی که فرض IIA در لوجیت نقض می شود، کاربرد دارد.

مدل پروبیت چندمتغیره (Multivariate Probit):

در مدل پروبیت، مطلوبیت هر گزینه به صورت زیر است:

\[ U_{ij} = V_{ij} + \varepsilon_{ij} \]

که بردار خطاها

\[ \varepsilon_i = (\varepsilon_{i1}, ..., \varepsilon_{iJ}) \]

دارای توزیع نرمال چندمتغیره با میانگین صفر و ماتریس کوواریانس

\[ \Sigma \]

است. احتمال انتخاب گزینه j به صورت زیر است:

\[ P_{ij} = \Pr(V_{ij} + \varepsilon_{ij} > V_{ik} + \varepsilon_{ik} \ \forall k \neq j) \]

این احتمال یک انتگرال J-1 بعدی روی ناحیه ای از توزیع نرمال است که فرم بسته ندارد و باید با روش های عددی (مانند شبیه سازی) محاسبه شود.

🔑 مزیت اصلی پروبیت نسبت به لوجیت:

قابلیت مدل سازی همبستگی بین خطاهای گزینه ها (از طریق ماتریس کوواریانس

\[ \Sigma \]

). این ویژگی به پروبیت اجازه می دهد تا الگوهای جانشینی پیچیده تری را نسبت به لوجیت (که فرض استقلال دارد) مدل کند. برای مثال، اگر دو گزینه بسیار شبیه هم باشند، پروبیت می تواند همبستگی مثبت بین خطاهای آنها را نشان دهد.

مدل پروبیت دوگانه (Binary Probit):

در حالت دو گزینه ای (مثلا خرید یا نخریدن)، مدل پروبیت به صورت زیر ساده می شود:

\[ P(y_i=1) = \Phi(V_i) \]

که

\[ \Phi \]

تابع توزیع تجمعی نرمال استاندارد است. در این حالت، فرم بسته وجود دارد (با استفاده از جدول نرمال).

مراحل تخمین مدل پروبیت:

گام ۱: تعریف تابع درستنمایی (که شامل انتگرال های چندبعدی است).

گام ۲: استفاده از روش های شبیه سازی (مانند مونت کارلو یا روش های کرانک-نیکلسون) برای تقریب انتگرال ها.

گام ۳: بیشینه سازی عددی تابع درستنمایی شبیه سازی شده (MSL).

گام ۴: تفسیر ضرایب و محاسبه اثرات نهایی.

مثال: مدل پروبیت دوگانه برای تصمیم به خرید:

📘 مثال:

می خواهیم اثر قیمت بر احتمال خرید یک محصول را بررسی کنیم. مدل پروبیت دوگانه:

\[ P(خرید) = \Phi(\alpha + \beta p + \gamma x) \]

. داده های ۵۰۰ خریدار داریم. نتایج تخمین:

\[ \beta = -0.1 \]

(ضریب قیمت، منفی و معنادار)

\[ \alpha = 5 \]

\[ \gamma = 0.05 \]

برای درآمد

برای یک مصرف کننده با درآمد ۲۰۰ و قیمت ۳۰، مقدار

\[ V = 5 -0.1\times30 +0.05\times200 = 5 -3 +10 = 12 \]

. احتمال خرید =

\[ \Phi(12) \]

که تقریبا 1 است (بسیار بالا).

اثر نهایی قیمت:

\[ \frac{\partial P}{\partial p} = \beta \phi(V) \]

که

\[ \phi \]

چگالی نرمال است. در V=12،

\[ \phi \]

بسیار کوچک است، پس اثر نهایی قیمت در این نقطه ناچیز است.

مثال: مدل پروبیت چندمتغیره برای انتخاب بین سه برند:

سه برند A، B، C. ماتریس کوواریانس خطاها تخمین زده می شود. اگر برند A و B بسیار شبیه هم باشند (مثلا دو محصول از یک شرکت)، احتمالا همبستگی مثبت بین خطاهای آنها وجود دارد. مدل پروبیت می تواند این همبستگی را نشان دهد و در نتیجه، کاهش قیمت A نه تنها از B بلکه از C نیز سهم می گیرد، اما جانشینی بین A و B بیشتر از A و C خواهد بود.

مزایای مدل پروبیت:

انعطاف پذیری بالا در مدل سازی همبستگی بین گزینه ها

عدم فرض IIA (که در لوجیت مشکل ساز است)

پایه های نظری قوی (توزیع نرمال)

معایب و محدودیت ها:

عدم وجود فرم بسته و نیاز به روش های عددی

پیچیدگی محاسباتی (مخصوصا با تعداد گزینه های زیاد)

نیاز به داده های با کیفیت و حجم بالا برای تخمین پایدار

تفسیر ضرایب دشوارتر از لوجیت

کاربردها:

تحلیل انتخاب مصرف کننده در بازارهایی با گزینه های مشابه (مثل برندهای مختلف یک کالا)

مدل سازی انتخاب وسیله نقلیه، مسیر سفر، و غیره

پیش بینی تقاضا برای محصولات جدید با در نظر گرفتن همبستگی با محصولات موجود