مدل قیمت گذاری لوجیت (Logit Pricing Model)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع مدل های قیمت گذاری (Pricing Models) را در آموزش زیر شرح دادیم :

مدل قیمت گذاری لوجیت (Logit Pricing Model) :

مدل قیمت گذاری لوجیت (Logit Pricing Model) حالت خاصی از مدل های انتخاب گسسته است که در آن احتمال انتخاب هر گزینه با تابع لوجیت (لجستیک) بیان می شود. این مدل به دلیل سادگی و فرم بسته، محبوبیت زیادی در تحقیقات بازاریابی و اقتصادسنجی دارد. مدل لوجیت می تواند برای پیش بینی سهم بازار در پاسخ به تغییرات قیمت و تخمین کشش های قیمتی استفاده شود.

فرمول احتمال در مدل لوجیت چندجمله ای:

\[ P_{ij} = \frac{e^{V_{ij}}}{\sum_{k=1}^{K} e^{V_{ik}}} \]

که

\[ V_{ij} \]

مطلوبیت قطعی گزینه j برای مصرف کننده i است و معمولا به صورت خطی در نظر گرفته می شود:

\[ V_{ij} = \alpha_j + \beta_p p_j + \beta' x_j + \gamma' z_i \]

که

\[ p_j \]

قیمت گزینه j،

\[ x_j \]

سایر ویژگی های گزینه،

\[ z_i \]

ویژگی های مصرف کننده، و

\[ \alpha_j \]

اثر ثابت مخصوص گزینه است.

🔑 ویژگی IIA (Independence of Irrelevant Alternatives):

در مدل لوجیت ساده، نسبت احتمال انتخاب دو گزینه به وجود یا عدم وجود گزینه های دیگر بستگی ندارد. این ویژگی می تواند در برخی موارد غیرواقعی باشد (مانند اتوبوس آبی/قرمز). در چنین مواردی باید از مدل های پیشرفته تر (مانند لوجیت آشیانه ای) استفاده کرد.

کشش قیمتی در مدل لوجیت:

کشش قیمتی تقاضا برای گزینه j نسبت به تغییر قیمت خودش (کشش مستقیم) به صورت زیر است:

\[ E_{jj} = \beta_p p_j (1 - P_j) \]

و کشش متقاطع نسبت به تغییر قیمت گزینه k:

\[ E_{jk} = -\beta_p p_k P_k \]

که

\[ P_j \]

سهم بازار (احتمال انتخاب) گزینه j است.

مراحل تخمین مدل لوجیت برای قیمت گذاری:

گام ۱: جمع آوری داده های انتخاب (ترجیحات بیان شده یا آشکار شده).

گام ۲: تعریف متغیرهای توضیحی (شامل قیمت).

گام ۳: تخمین پارامترها با روش حداکثر درستنمایی (تابع درستنمایی:

\[ L = \prod_i \prod_j P_{ij}^{y_{ij}} \]

).

گام ۴: تفسیر ضرایب و محاسبه کشش ها.

مثال: مدل لوجیت برای انتخاب برند شیر:

📘 مثال:

سه برند شیر A، B، C در بازار وجود دارد. داده های خرید ۱۰۰۰ مصرف کننده جمع آوری شده است. متغیرها: قیمت (تومان)، تبلیغات (مجازی 0/1)، و برند. نتایج تخمین (ضرایب):

\[ \beta_p = -0.02 \]

(ضریب قیمت)

\[ \beta_{adv} = 0.5 \]

(اثر تبلیغات)

\[ \alpha_A = 1 \]

،

\[ \alpha_B = 0.5 \]

،

\[ \alpha_C = 0 \]

(اثرات ثابت برند)

در یک دوره، قیمت ها:

\[ p_A=1500 \]

،

\[ p_B=1400 \]

،

\[ p_C=1300 \]

، و هیچ تبلیغاتی وجود ندارد. محاسبه مطلوبیت ها:

\[ V_A = 1 -0.02\times1500 = 1 -30 = -29 \] \[ V_B = 0.5 -0.02\times1400 = 0.5 -28 = -27.5 \] \[ V_C = 0 -0.02\times1300 = -26 \]

سهم بازار:

\[ P_A = \frac{e^{-29}}{e^{-29}+e^{-27.5}+e^{-26}} = \frac{1}{1 + e^{1.5} + e^{3}} \]

(با تقریب) ≈ 0.047

\[ P_B ≈ 0.22 \]

،

\[ P_C ≈ 0.733 \]

کشش قیمتی برند A:

\[ E_{AA} = (-0.02) \times 1500 \times (1-0.047) = -30 \times 0.953 = -28.6 \]

(بسیار کشش پذیر).

مدل لوجیت شرطی (Conditional Logit) در مقابل لوجیت چندجمله ای (Multinomial Logit):

لوجیت شرطی: ویژگی های گزینه ها (مانند قیمت) در مدل وارد می شوند.

لوجیت چندجمله ای: ویژگی های مصرف کننده (مانند سن، درآمد) وارد می شوند.

معمولا از ترکیب هر دو استفاده می شود.

مزایای مدل لوجیت:

فرم بسته و ساده برای احتمال انتخاب

تخمین نسبتا آسان با روش حداکثر درستنمایی

تفسیر مستقیم ضرایب (نسبت شانس - Odds Ratio)

معایب و محدودیت ها:

فرض IIA که ممکن است در برخی موارد نقض شود

عدم در نظر گرفتن ناهمگنی در ترجیحات (مگر با مدل های آمیخته)

حساسیت به تعریف صحیح متغیرها

کاربردها:

پیش بینی سهم بازار برندها در سناریوهای قیمتی مختلف

تخمین کشش های قیمتی و تبلیغاتی

تحلیل اثر تغییرات قیمت رقبا بر فروش شرکت