مدل قیمت گذاری اوراق قرضه با معادله دیفرانسیل (Bond Pricing Differential Equation)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع مدل های قیمت گذاری (Pricing Models) را در آموزش زیر شرح دادیم :

مدل قیمت گذاری اوراق قرضه با معادله دیفرانسیل (Bond Pricing Differential Equation) :

مدل قیمت گذاری اوراق قرضه با معادله دیفرانسیل چارچوبی عمومی برای تعیین قیمت اوراق قرضه (به ویژه اوراق با کوپن ثابت و بدون کوپن) با استفاده از معادلات دیفرانسیل معمولی (ODE) یا معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی (PDE) است. این مدل ها بر اساس فرضیه های خاصی درباره نرخ بهره و نرخ تنزیل بنا شده اند. ساده ترین حالت، مدل نرخ بهره قطعی (Deterministic Interest Rate) است که منجر به یک ODE ساده می شود.

مدل قطعی (ODE) برای قیمت اوراق قرضه:

فرض کنید نرخ بهره

\[ r(t) \]

تابعی قطعی از زمان است. قیمت یک اوراق قرضه بدون کوپن با سررسید T و ارزش اسمی 1، عبارت است از:

\[ P(t,T) = e^{-\int_t^T r(s) ds} \]

این رابطه از اصل ارزش فعلی ناشی می شود. برای اوراق با کوپن، قیمت مجموع ارزش فعلی کوپن ها و اصل است.

معادله دیفرانسیل برای قیمت اوراق قرضه در حالت قطعی:

با مشتق گیری از رابطه بالا نسبت به t، به معادله دیفرانسیل زیر می رسیم:

\[ \frac{dP}{dt} = r(t) P(t,T) \]

با شرط نهایی

\[ P(T,T)=1 \]

. این یک ODE خطی ساده است.

مدل تصادفی (PDE) برای قیمت اوراق قرضه:

در حالت تصادفی، فرض می کنیم نرخ بهره کوتاه مدت

\[ r_t \]

از یک فرآیند تصادفی پیروی می کند (مانند واسیچک یا CIR). در این حالت، قیمت اوراق قرضه تابعی از

\[ r \]

و

\[ t \]

است:

\[ P = P(r,t,T) \]

. با استفاده از لم ایتو و اصل عدم آربیتراژ، یک PDE برای قیمت اوراق قرضه به دست می آید. شکل عمومی این PDE به صورت زیر است:

\[ \frac{\partial P}{\partial t} + \frac{1}{2} \sigma(r,t)^2 \frac{\partial^2 P}{\partial r^2} + \mu(r,t) \frac{\partial P}{\partial r} - r P = 0 \]

که در آن

\[ \mu(r,t) \]

و

\[ \sigma(r,t) \]

به ترتیب رانش و نوسان فرآیند نرخ بهره هستند. شرط نهایی:

\[ P(r,T,T)=1 \]

.

🔑 مدل های خاص به عنوان حالت های ویژه:

در مدل واسیچک:

\[ \mu(r,t) = \kappa(\theta - r) \]

،

\[ \sigma(r,t) = \sigma \]

.

در مدل CIR:

\[ \mu(r,t) = \kappa(\theta - r) \]

،

\[ \sigma(r,t) = \sigma \sqrt{r} \]

.

قیمت اوراق قرضه با کوپن ثابت:

برای اوراق قرضه با کوپن، قیمت را می توان به صورت مجموع قیمت اوراق بدون کوپن مربوط به هر پرداخت نوشت:

\[ P_{coupon}(t) = \sum_{i=1}^n C_i P(t, T_i) + F P(t, T_n) \]

که

\[ C_i \]

کوپن ها،

\[ F \]

ارزش اسمی و

\[ T_i \]

زمان های پرداخت هستند. اگر نرخ بهره تصادفی باشد،

\[ P(t,T_i) \]

از مدل تصادفی به دست می آید.

مثال: قیمت گذاری اوراق قرضه 5 ساله با کوپن سالانه 5% و ارزش اسمی 1000 تومان، با نرخ بهره ثابت 4%:

📘 مثال قطعی:

نرخ بهره ثابت 4% است. قیمت اوراق قرضه:

\[ P = \frac{50}{1.04} + \frac{50}{1.04^2} + \frac{50}{1.04^3} + \frac{50}{1.04^4} + \frac{1050}{1.04^5} \] \[ P = 48.08 + 46.23 + 44.45 + 42.74 + 863.04 = 1044.54 \]

تومان.

مثال: حل عددی PDE برای اوراق قرضه با نرخ بهره واسیچک:

با استفاده از روش تفاضلات محدود (مثلا روش ضمنی)، می توان معادله PDE را روی یک شبکه از مقادیر

\[ r \]

و

\[ t \]

حل کرد و قیمت اوراق قرضه را برای هر

\[ r \]

و

\[ t \]

به دست آورد.

مزایای مدل PDE برای اوراق قرضه:

چارچوبی منسجم برای قیمت گذاری با فرضیات مختلف نرخ بهره

قابلیت تحلیل حساسیت (دوراسیون، تحدب) نسبت به نرخ بهره

امکان قیمت گذاری اوراق با ویژگی های اختیاری (مانند اوراق قابل بازخرید)

معایب و محدودیت ها:

در حالت تصادفی، حل عددی نیازمند محاسبات سنگین است

دقت نتایج به انتخاب مدل نرخ بهره و پارامترهای آن وابسته است

برای اوراق با کوپن های متغیر یا پیچیده، مدل سازی دشوارتر می شود

کاربردها:

قیمت گذاری اوراق قرضه دولتی و شرکتی

مدیریت ریسک پرتفوی با درآمد ثابت

تحلیل اثر تغییرات نرخ بهره بر ارزش اوراق