مدل قیمت گذاری هیث-جارو-مورتون (Heath-Jarrow-Morton - HJM Model)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع مدل های قیمت گذاری (Pricing Models) را در آموزش زیر شرح دادیم :
مدل قیمت گذاری هیث-جارو-مورتون (Heath-Jarrow-Morton - HJM Model) :
مدل هیث-جارو-مورتون (HJM) که توسط دیوید هیث، رابرت جارو و اندرو مورتون در سال 1992 معرفی شد، یک چارچوب بسیار عمومی برای مدل سازی کل ساختار ترم نرخ بهره (یعنی کل منحنی نرخ بهره) است، نه فقط نرخ کوتاه مدت. برخلاف مدل های واسیچک و CIR که نرخ کوتاه مدت را مدل می کنند، HJM نرخ های آتی لحظه ای (Instantaneous Forward Rates) را مدل می کند و شرایط عدم آربیتراژ را به صورت درون زا اعمال می کند.
ایده اصلی مدل HJM:
به جای مدل سازی نرخ کوتاه مدت
\[ r_t \]، مدل HJM تکامل کل منحنی نرخ های آتی
\[ f(t,T) \]را توصیف می کند.
\[ f(t,T) \]نرخ بهره ای است که در زمان t برای وام گیری بین زمان T و T+dT توافق می شود. شرط عدم آربیتراژ رابطه ای بین رانش (Drift) و نوسان (Volatility) نرخ های آتی ایجاد می کند.
معادله دیفرانسیل تصادفی برای نرخ های آتی در مدل HJM:
\[ df(t,T) = \alpha(t,T) dt + \sigma(t,T) dW_t \]که در آن
\[ \sigma(t,T) \]تابع نوسان (می تواند وابسته به زمان و سررسید باشد) و
\[ \alpha(t,T) \]رانش است. شرط عدم آربیتراژ در مدل HJM بیان می کند که رانش
\[ \alpha(t,T) \]باید به صورت زیر به نوسان
\[ \sigma(t,T) \]وابسته باشد:
\[ \alpha(t,T) = \sigma(t,T) \int_t^T \sigma(t,u) du \](در حالت تک عاملی). این شرط تضمین می کند که مدل با بازار بدون آربیتراژ سازگار است.
🔑 مزیت اصلی HJM:
با انتخاب هر تابع نوسان
\[ \sigma(t,T) \]، مدل به طور خودکار شرایط عدم آربیتراژ را ارضا می کند. این انعطاف پذیری زیادی به مدل ساز می دهد تا مدل را با داده های بازار (مثلا لبخند نوسان) تطبیق دهد.
رابطه با نرخ کوتاه مدت:
نرخ کوتاه مدت
\[ r_t \]برابر است با
\[ f(t,t) \]. قیمت اوراق قرضه نیز از رابطه زیر به دست می آید:
\[ P(t,T) = \exp\left( -\int_t^T f(t,s) ds \right) \]انتخاب توابع نوسان در HJM:
نوسان ثابت:
\[ \sigma(t,T) = \sigma \](منجر به مدلی شبیه واسیچک می شود).
نوسان نمایی:
\[ \sigma(t,T) = \sigma e^{-\kappa (T-t)} \](مدل بازگشت به میانگین).
نوسان با ساختار چندعاملی:
\[ \sigma(t,T) = \sum_{i=1}^n \sigma_i(t,T) \](برای تطبیق بهتر با بازار).
مثال: مدل HJM با نوسان ثابت:
📘 مثال ساده:
فرض کنید
\[ \sigma(t,T) = \sigma \](ثابت). آن گاه شرط عدم آربیتراژ می گوید
\[ \alpha(t,T) = \sigma \int_t^T \sigma du = \sigma^2 (T-t) \]. بنابراین معادله نرخ آتی:
\[ df(t,T) = \sigma^2 (T-t) dt + \sigma dW_t \]. این یک مدل ساده است که می تواند منجر به نرخ های منفی شود، اما نشان دهنده قدرت HJM است.
مدل HJM با نوسان نمایی (مدل بازگشت به میانگین):
اگر
\[ \sigma(t,T) = \sigma e^{-\kappa (T-t)} \]، آن گاه شرط عدم آربیتراژ منجر به مدلی می شود که نرخ کوتاه مدت آن از فرآیند بازگشت به میانگین (شبیه واسیچک) پیروی می کند.
مزایای مدل HJM:
بسیار عمومی و انعطاف پذیر
سازگار با شرایط عدم آربیتراژ
قابلیت تطبیق با ساختار ترم اولیه و نوسانات بازار
پایه ای برای مدل های پیشرفته نرخ بهره
معایب و محدودیت ها:
وابستگی به مسیر (Path-Dependent) و عدم وجود فرمول بسته ساده
نیاز به روش های عددی (معمولا درخت های مارکوف یا مونت کارلو) برای قیمت گذاری
تعداد پارامترها می تواند زیاد باشد (مخصوصا در حالت چندعاملی)
برآورد و کالیبره کردن مدل پیچیده است
کاربردها:
قیمت گذاری مشتقات نرخ بهره پیچیده (مانند اختیار روی اوراق قرضه، سوآپ های چندگانه)
مدل سازی ریسک نرخ بهره در پرتفوی های بزرگ
تحلیل سناریو و تنش در بانک ها و مؤسسات مالی
