مدل قیمت گذاری نرخ بهره کاکس-اینگرسول-راس (Cox-Ingersoll-Ross - CIR Model)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع مدل های قیمت گذاری (Pricing Models) را در آموزش زیر شرح دادیم :
مدل قیمت گذاری نرخ بهره کاکس-اینگرسول-راس (Cox-Ingersoll-Ross - CIR Model) :
مدل کاکس-اینگرسول-راس (Cox-Ingersoll-Ross - CIR) که در سال 1985 توسط جان کاکس، جاناتان اینگرسول و استیون راس ارائه شد، یک مدل تعادل عمومی برای نرخ بهره است که مشکل منفی شدن نرخ در مدل واسیچک را برطرف می کند. در این مدل، نرخ بهره نیز به سمت میانگین بازمی گردد، اما نوسان متناسب با جذر نرخ بهره است، که تضمین می کند نرخ بهره هرگز منفی نمی شود.
معادله دیفرانسیل تصادفی نرخ بهره در مدل CIR:
\[ dr_t = \kappa (\theta - r_t) dt + \sigma \sqrt{r_t} dW_t \]که در آن:
\[ r_t \]
: نرخ بهره کوتاه مدت
\[ \kappa \]
: سرعت بازگشت به میانگین
\[ \theta \]
: میانگین بلندمدت
\[ \sigma \]
: نوسان (پارامتر مقیاس)
\[ dW_t \]
: فرآیند وینر
جمله
\[ \sqrt{r_t} \]در قسمت تصادفی باعث می شود وقتی نرخ بهره به صفر نزدیک می شود، نوسان نیز به صفر نزدیک شود و نیروی بازگشت به میانگین (
\[ \kappa \theta \]) نرخ را به سمت مثبت هدایت کند. بنابراین نرخ بهره هرگز منفی نمی شود.
🔑 شرط فیلر (Feller Condition):
برای اطمینان از مثبت ماندن نرخ بهره (و دوری از صفر)، باید شرط زیر برقرار باشد:
\[ 2\kappa \theta > \sigma^2 \]این شرط اطمینان می دهد که رانش (Drift) به اندازه کافی قوی است تا نرخ را از صفر دور نگه دارد.
قیمت گذاری اوراق قرضه بدون کوپن در مدل CIR:
قیمت اوراق قرضه نیز به شکل
\[ P(t,T) = A(t,T) e^{-B(t,T) r_t} \]است، اما توابع A و B متفاوت هستند:
\[ B(t,T) = \frac{2(e^{\gamma (T-t)} - 1)}{(\gamma + \kappa)(e^{\gamma (T-t)} - 1) + 2\gamma} \] \[ A(t,T) = \left[ \frac{2\gamma e^{(\kappa + \gamma)(T-t)/2}}{(\gamma + \kappa)(e^{\gamma (T-t)} - 1) + 2\gamma} \right]^{2\kappa \theta / \sigma^2} \]که در آن
\[ \gamma = \sqrt{\kappa^2 + 2\sigma^2} \].
توزیع نرخ بهره در مدل CIR:
نرخ بهره در مدل CIR از توزیع مجذور کای غیرمرکزی (Non-central Chi-squared) پیروی می کند. این ویژگی برای شبیه سازی و محاسبات عددی مفید است.
مثال: محاسبه قیمت اوراق قرضه با مدل CIR:
📘 مثال:
فرض کنید
\[ \kappa=0.3 \]،
\[ \theta=0.05 \]،
\[ \sigma=0.12 \]،
\[ r_t=0.04 \]،
\[ T-t=5 \]سال. ابتدا شرط فیلر را بررسی می کنیم:
\[ 2\times0.3\times0.05 = 0.03 \]و
\[ \sigma^2 = 0.0144 \]، شرط برقرار است (0.03 > 0.0144).
\[ \gamma = \sqrt{0.3^2 + 2\times0.12^2} = \sqrt{0.09 + 0.0288} = \sqrt{0.1188} = 0.3447 \] \[ e^{\gamma (T-t)} = e^{0.3447 \times 5} = e^{1.7235} = 5.604 \] \[ B = \frac{2(5.604 - 1)}{(0.3447+0.3)(5.604-1) + 2\times0.3447} = \frac{2\times4.604}{0.6447\times4.604 + 0.6894} = \frac{9.208}{2.968 + 0.6894} = \frac{9.208}{3.6574} = 2.518 \] \[ A = \left[ \frac{2\times0.3447 \times e^{(0.3+0.3447)\times5/2}}{(0.6447)(5.604-1) + 2\times0.3447} \right]^{2\times0.3\times0.05 / 0.12^2} = \left[ \frac{0.6894 \times e^{1.6118}}{3.6574} \right]^{0.03 / 0.0144} \] \[ e^{1.6118}=5.011 \]، صورت:
\[ 0.6894\times5.011=3.454 \]، نسبت:
\[ 3.454/3.6574=0.9444 \]توان:
\[ 0.03/0.0144=2.0833 \]،
\[ A = 0.9444^{2.0833} = 0.888 \] \[ P = 0.888 \times e^{-2.518 \times 0.04} = 0.888 \times e^{-0.1007} = 0.888 \times 0.9042 = 0.803 \]مزایای مدل CIR:
نرخ بهره همیشه مثبت است (با شرط فیلر)
بازگشت به میانگین و نوسان وابسته به سطح نرخ
فرمول بسته برای قیمت اوراق قرضه
پایه ای برای مدل های نرخ بهره پیشرفته تر
معایب و محدودیت ها:
پیچیدگی بیشتر نسبت به واسیچک
نوسان ثابت (پارامتر σ) در عمل ممکن است کافی نباشد
برآورد پارامترها دشوارتر است
کاربردها:
قیمت گذاری اوراق قرضه و اختیار روی اوراق قرضه
مدل سازی نرخ بهره برای مدیریت ریسک نرخ بهره
محاسبه ارزش در معرض ریسک (VaR) پرتفوی با درآمد ثابت
