مدل قیمت گذاری نرخ بهره واسیچک (Vasicek Interest Rate Pricing Model)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع مدل های قیمت گذاری (Pricing Models) را در آموزش زیر شرح دادیم :

مدل قیمت گذاری نرخ بهره واسیچک (Vasicek Interest Rate Pricing Model) :

مدل واسیچک (Vasicek Model) که توسط اولدریچ واسیچک در سال 1977 معرفی شد، یکی از اولین و مشهورترین مدل های تعادل عمومی برای مدل سازی نرخ بهره کوتاه مدت (Short Rate) است. این مدل فرض می کند نرخ بهره به سمت یک میانگین بلندمدت بازمی گردد (Mean-Reverting) و از یک فرآیند تصادفی اورنشتاین-اولنبک (Ornstein-Uhlenbeck) پیروی می کند. مدل واسیچک برای قیمت گذاری اوراق قرضه و سایر اوراق با درآمد ثابت کاربرد گسترده دارد.

معادله دیفرانسیل تصادفی نرخ بهره در مدل واسیچک:

\[ dr_t = \kappa (\theta - r_t) dt + \sigma dW_t \]

که در آن:

\[ r_t \]

: نرخ بهره کوتاه مدت در زمان t

\[ \kappa \]

: سرعت بازگشت به میانگین (سرعت تعدیل)

\[ \theta \]

: میانگین بلندمدت نرخ بهره (سطح تعادلی)

\[ \sigma \]

: نوسان (واریانس) نرخ بهره

\[ dW_t \]

: افزایش فرآیند وینر (حرکت براونی)

🔑 ویژگی بازگشت به میانگین (Mean Reversion):

اگر نرخ بهره فعلی (

\[ r_t \]

) بالاتر از میانگین بلندمدت (

\[ \theta \]

) باشد، جمله

\[ \kappa(\theta - r_t) \]

منفی می شود و نرخ را به سمت پایین می کشد. اگر پایین تر باشد، آن را به سمت بالا می کشد. این ویژگی با مشاهدات تجربی نرخ بهره سازگار است.

قیمت گذاری اوراق قرضه بدون کوپن در مدل واسیچک:

قیمت یک اوراق قرضه بدون کوپن با سررسید T در زمان t به صورت زیر است:

\[ P(t,T) = A(t,T) e^{-B(t,T) r_t} \]

که در آن:

\[ B(t,T) = \frac{1 - e^{-\kappa (T-t)}}{\kappa} \] \[ A(t,T) = \exp\left[ \left( \theta - \frac{\sigma^2}{2\kappa^2} \right) (B(t,T) - (T-t)) - \frac{\sigma^2 B(t,T)^2}{4\kappa} \right] \]

منحنی نرخ بهره (Yield Curve) در مدل واسیچک:

بازده تا سررسید (Yield to Maturity) برای اوراق قرضه با سررسید T:

\[ R(t,T) = -\frac{\ln P(t,T)}{T-t} = \frac{B(t,T)}{T-t} r_t - \frac{\ln A(t,T)}{T-t} \]

مثال: محاسبه قیمت اوراق قرضه با مدل واسیچک:

📘 مثال:

فرض کنید

\[ \kappa=0.3 \]

،

\[ \theta=0.05 \]

،

\[ \sigma=0.02 \]

،

\[ r_t=0.04 \]

(4%)، و می خواهیم قیمت اوراق قرضه 5 ساله (

\[ T-t=5 \]

) را محاسبه کنیم.

\[ B = \frac{1 - e^{-0.3 \times 5}}{0.3} = \frac{1 - e^{-1.5}}{0.3} = \frac{1 - 0.2231}{0.3} = \frac{0.7769}{0.3} = 2.5897 \] \[ \ln A = \left(0.05 - \frac{0.02^2}{2 \times 0.3^2}\right) (2.5897 - 5) - \frac{0.02^2 \times (2.5897)^2}{4 \times 0.3} \] \[ \ln A = \left(0.05 - \frac{0.0004}{0.18}\right) (-2.4103) - \frac{0.0004 \times 6.706}{1.2} \] \[ \ln A = (0.05 - 0.00222) \times (-2.4103) - \frac{0.002682}{1.2} \] \[ \ln A = 0.04778 \times (-2.4103) - 0.002235 = -0.1151 - 0.002235 = -0.117335 \] \[ A = e^{-0.117335} = 0.8892 \] \[ P = 0.8892 \times e^{-2.5897 \times 0.04} = 0.8892 \times e^{-0.10359} = 0.8892 \times 0.9016 = 0.8017 \]

قیمت اوراق 80.17 درصد ارزش اسمی است.

مزایای مدل واسیچک:

فرمول بسته برای قیمت اوراق قرضه

مدل سازی بازگشت به میانگین (واقع بینانه)

پایه ای برای مدل های پیچیده تر نرخ بهره

معایب و محدودیت ها:

احتمال منفی شدن نرخ بهره (که در عمل نادر است اما ممکن است در مدل رخ دهد)

نوسان ثابت (در عمل نوسان نرخ بهره تغییر می کند)

عدم تطابق کامل با ساختار ترم نرخ بهره در بازار

کاربردها:

قیمت گذاری اوراق قرضه و اختیار روی اوراق قرضه

مدل سازی نرخ بهره برای تحلیل ریسک

مدیریت دارایی ها و بدهی ها در بانک ها