مدل قیمت گذاری بلک-شولز-مرتون (Black-Scholes-Merton PDE Model)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع مدل های قیمت گذاری (Pricing Models) را در آموزش زیر شرح دادیم :
مدل قیمت گذاری بلک-شولز-مرتون (Black-Scholes-Merton PDE Model) :
مدل بلک-شولز-مرتون تعمیم یافته مدل اصلی بلک-شولز است که توسط رابرت مرتون برای قیمت گذاری اختیار معامله با در نظر گرفتن پرداخت سود سهام و سایر ویژگی ها ارائه شد. این مدل یکی از مهم ترین دستاوردهای مالی مدرن است و جایزه نوبل اقتصاد را برای شولز و مرتون به ارمغان آورد (بلک پیش از دریافت جایزه درگذشت). معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی (PDE) بلک-شولز-مرتون، چارچوبی عمومی برای قیمت گذاری مشتقات فراهم می کند.
معادله دیفرانسیل بلک-شولز-مرتون:
\[ \frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + (r - q)S \frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0 \]که در آن:
\[ V(S,t) \]
: قیمت اختیار معامله (یا هر مشتقه)
\[ S \]
: قیمت دارایی پایه
\[ t \]
: زمان
\[ \sigma \]
: نوسان (Volatility) قیمت دارایی پایه
\[ r \]
: نرخ بهره بدون ریسک
\[ q \]
: نرخ سود سهام (Dividend Yield) - اگر وجود داشته باشد
🔑 تفاوت با مدل اصلی بلک-شولز:
مدل اصلی بلک-شولز (1973) برای اختیار اروپایی روی سهامی که سود سهام پرداخت نمی کنند، طراحی شده بود. مرتون با اضافه کردن عبارت
\[ -qS \frac{\partial V}{\partial S} \]امکان قیمت گذاری اختیار روی سهام با سود سهام و همچنین سایر دارایی ها (مانند ارز و شاخص) را فراهم کرد.
فرمول بسته بلک-شولز-مرتون برای اختیار خرید اروپایی با نرخ سود سهام q:
\[ C(S,t) = S e^{-q(T-t)} N(d_1) - K e^{-r(T-t)} N(d_2) \] \[ d_1 = \frac{\ln(\frac{S}{K}) + (r - q + \frac{\sigma^2}{2})(T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}} \] \[ d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T-t} \]اختیار فروش اروپایی (Put Option) از رابطه پاریته (Put-Call Parity) به دست می آید:
\[ P(S,t) = K e^{-r(T-t)} N(-d_2) - S e^{-q(T-t)} N(-d_1) \]مثال: قیمت گذاری اختیار خرید با سود سهام:
📘 مثال:
فرض کنید
\[ S=100 \]،
\[ K=95 \]،
\[ r=0.05 \]،
\[ q=0.02 \]،
\[ \sigma=0.2 \]،
\[ T=0.5 \]سال.
محاسبات:
\[ d_1 = \frac{\ln(100/95) + (0.05 - 0.02 + 0.2^2/2) \times 0.5}{0.2 \sqrt{0.5}} = \frac{0.0513 + (0.03 + 0.02) \times 0.5}{0.1414} = \frac{0.0513 + 0.025}{0.1414} = \frac{0.0763}{0.1414} = 0.539 \] \[ d_2 = 0.539 - 0.1414 = 0.3976 \] \[ N(0.539) = 0.705 \]،
\[ N(0.3976) = 0.654 \](از جدول نرمال)
\[ C = 100 e^{-0.02 \times 0.5} \times 0.705 - 95 e^{-0.05 \times 0.5} \times 0.654 = 100 \times 0.99 \times 0.705 - 95 \times 0.975 \times 0.654 \] \[ C = 69.795 - 60.56 = 9.235 \]تومان
مشتقات جزئی (یونانی ها) در مدل بلک-شولز-مرتون:
دلتا (Delta):
\[ \Delta = e^{-q(T-t)} N(d_1) \]برای اختیار خرید.
گاما (Gamma):
\[ \Gamma = \frac{e^{-q(T-t)} N'(d_1)}{S \sigma \sqrt{T-t}} \](برای هر دو نوع اختیار یکسان).
وتا (Vega):
\[ \mathcal{V} = S e^{-q(T-t)} N'(d_1) \sqrt{T-t} \](حساسیت به نوسان).
تتا (Theta): برای اختیار خرید:
\[ \Theta = -\frac{S e^{-q(T-t)} N'(d_1) \sigma}{2 \sqrt{T-t}} - rK e^{-r(T-t)} N(d_2) + q S e^{-q(T-t)} N(d_1) \].
رو (Rho):
\[ \rho = K (T-t) e^{-r(T-t)} N(d_2) \]برای اختیار خرید.
مزایای مدل بلک-شولز-مرتون:
ارائه فرمول بسته و قابل محاسبه سریع
پایه ای برای قیمت گذاری طیف وسیعی از مشتقات
قابلیت محاسبه یونانی ها برای مدیریت ریسک
معایب و محدودیت ها:
فرض ثابت بودن نوسان و نرخ بهره (در عمل نقض می شود)
فرض توزیع لوگ نرمال برای قیمت (در عمل دنباله های پهن تر مشاهده می شود)
فقط برای اختیارهای اروپایی کاربرد مستقیم دارد
کاربردها:
قیمت گذاری اختیار معامله روی سهام، شاخص ها، ارزها و کالاها
محاسبه نوسان ضمنی (Implied Volatility) از قیمت های بازار
مدیریت ریسک پرتفوی اختیارها
