مدل قیمت گذاری رقابت استکلبرگ (Stackelberg Competition Pricing Model)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع مدل های قیمت گذاری (Pricing Models) را در آموزش زیر شرح دادیم :
مدل قیمت گذاری رقابت استکلبرگ (Stackelberg Competition Pricing Model) :
مدل رقابت استکلبرگ (Stackelberg Competition) توسط هاینریش فون استکلبرگ در سال ۱۹۳۴ معرفی شد. این مدل یک مدل انحصار چندجانبه نابرابر است که در آن یک بنگاه به عنوان رهبر (Leader) و بقیه به عنوان پیرو (Follower) عمل می کنند. رهبر ابتدا سطح تولید (یا قیمت) خود را انتخاب می کند و سپس پیروها با مشاهده تصمیم رهبر، بهترین واکنش را نشان می دهند. این مدل برای صنایعی مناسب است که یک بنگاه مسلط وجود دارد.
فرضیات مدل استکلبرگ (نسخه کمی):
دو بنگاه (یا بیشتر) با محصول همگن.
یک بنگاه رهبر و دیگری پیرو.
رهبر ابتدا مقدار تولید خود را انتخاب می کند.
پیرو با مشاهده تولید رهبر، مقدار تولید خود را انتخاب می کند.
قیمت توسط تابع تقاضای بازار تعیین می شود.
حل مدل استکلبرگ (با استفاده از پس گرد - Backward Induction):
فرض می کنیم تابع تقاضای معکوس خطی
\[ P = a - bQ \]، هزینه نهایی هر دو بنگاه
\[ c \]و
\[ Q = q_L + q_F \].
مرحله ۲ (مسأله پیرو): پیرو با فرض ثابت بودن
\[ q_L \]، مقدار
\[ q_F \]را انتخاب می کند تا سود خود را حداکثر کند:
\[ \max_{q_F} \pi_F = (a - b(q_L + q_F) - c) q_F \]شرط مرتبه اول:
\[ a - b q_L - 2b q_F - c = 0 \]→
\[ 2b q_F = a - c - b q_L \]→
\[ q_F = \frac{a - c - b q_L}{2b} \quad \text{(تابع واکنش پیرو)} \]مرحله ۱ (مسأله رهبر): رهبر می داند که پیرو بر اساس تابع واکنش خود عمل خواهد کرد. بنابراین تابع سود رهبر را با جایگذاری
\[ q_F \]می نویسیم:
\[ \pi_L = (a - b(q_L + \frac{a - c - b q_L}{2b}) - c) q_L = (a - b q_L - \frac{a - c - b q_L}{2} - c) q_L \]ساده سازی:
\[ \pi_L = \left( \frac{a - c - b q_L}{2} \right) q_L \]شرط مرتبه اول برای رهبر:
\[ \frac{d\pi_L}{dq_L} = \frac{a - c}{2} - b q_L = 0 \]→
\[ q_L^* = \frac{a - c}{2b} \]با جایگذاری در تابع واکنش پیرو:
\[ q_F^* = \frac{a - c - b \times \frac{a-c}{2b}}{2b} = \frac{a - c - \frac{a-c}{2}}{2b} = \frac{\frac{a-c}{2}}{2b} = \frac{a-c}{4b} \]تولید کل:
\[ Q^* = \frac{a-c}{2b} + \frac{a-c}{4b} = \frac{3(a-c)}{4b} \]قیمت تعادلی:
\[ P^* = a - b \times \frac{3(a-c)}{4b} = \frac{a + 3c}{4} \]🔑 مقایسه با کورنو و انحصار:
تولید رهبر (
\[ \frac{a-c}{2b} \]) برابر با تولید انحصارگر است.
تولید کل در استکلبرگ (
\[ \frac{3(a-c)}{4b} \]) بیشتر از کورنو (
\[ \frac{2(a-c)}{3b} \]) است.
قیمت در استکلبرگ (
\[ \frac{a+3c}{4} \]) پایین تر از کورنو (
\[ \frac{a+2c}{3} \]) است.
سود رهبر بیشتر از سود پیرو است.
مثال ۱: مدل استکلبرگ با دو بنگاه:
📘 مثال عددی:
فرض کنید
\[ a=100 \]،
\[ b=1 \]،
\[ c=20 \].
\[ q_L^* = \frac{100-20}{2} = 40 \]واحد،
\[ q_F^* = \frac{100-20}{4} = 20 \]واحد،
\[ Q=60 \]،
\[ P=100-60=40 \].
سود رهبر:
\[ \pi_L = (40-20)\times40 = 800 \]، سود پیرو:
\[ \pi_F = (40-20)\times20 = 400 \].
در کورنو:
\[ q_1=q_2=\frac{80}{3}\approx 26.67 \]،
\[ Q\approx 53.33 \]،
\[ P\approx 46.67 \]، سود هر کدام حدود 711. سود رهبر در استکلبرگ بیشتر از سود در کورنو است.
مدل استکلبرگ قیمتی (با محصولات متمایز):
در این نسخه، رهبر ابتدا قیمت خود را تعیین می کند و پیرو با مشاهده آن، قیمت خود را تعیین می کند. توابع تقاضا مشابه برتراند متمایز هستند. حل با روش پس گرد انجام می شود.
مزایای مدل استکلبرگ:
مدل سازی واقع بینانه تر صنایعی با بنگاه مسلط (مانند نرم افزار، خودروسازی)
نشان دهنده مزیت حرکت اول (First-Mover Advantage)
پیش بینی تولید و قیمت دقیق تر از کورنو در برخی صنایع
معایب و محدودیت ها:
نیاز به تعیین دقیق رهبر و پیرو (که ممکن است مشخص نباشد)
در عمل، ممکن است چند بنگاه ادعای رهبری داشته باشند
فرض اطلاعات کامل (پیرو می داند رهبر چه کرده و رهبر می داند پیرو چگونه واکنش نشان می دهد)
کاربردها در قیمت گذاری:
صنایع با فناوری پیشرفته که شرکت پیشگام (Pioneer) مزیت دارد
بازارهایی با برندهای قوی (برندهای لوکس به عنوان رهبر قیمت)
تحلیل اثر ورود یک شرکت جدید به بازار
سیاست های تنظیم گری در بازارهای با بنگاه مسلط
