مدل قیمت گذاری رقابت برتراند (Bertrand Competition Pricing Model)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع مدل های قیمت گذاری (Pricing Models) را در آموزش زیر شرح دادیم :

مدل قیمت گذاری رقابت برتراند (Bertrand Competition Pricing Model) :

مدل رقابت برتراند (Bertrand Competition) توسط ژوزف برتراند در سال ۱۸۸۳ به عنوان نقدی بر مدل کورنو معرفی شد. در این مدل، بنگاه ها بر سر قیمت (نه مقدار تولید) با یکدیگر رقابت می کنند. این مدل برای صنایعی مناسب است که بنگاه ها می توانند به سرعت قیمت های خود را تغییر دهند و محدودیت ظرفیت چندانی ندارند. نتیجه معروف مدل برتراند با محصولات همگن، رسیدن قیمت به هزینه نهایی و سود صفر است که به "پارادوکس برتراند" معروف است.

فرضیات مدل برتراند:

چند بنگاه وجود دارد که محصول همگن (یکسان) تولید می کنند.

بنگاه ها به طور هم زمان قیمت خود را انتخاب می کنند.

مصرف کنندگان از ارزان ترین بنگاه خرید می کنند. اگر قیمت ها برابر باشد، بازار بین بنگاه ها تقسیم می شود.

بنگاه ها می توانند هر مقدار تقاضا را در قیمت اعلام شده تأمین کنند (بدون محدودیت ظرفیت).

بنگاه ها به دنبال حداکثر کردن سود خود هستند.

تحلیل مدل برتراند با دو بنگاه و محصول همگن:

فرض کنید دو بنگاه با هزینه نهایی ثابت و برابر

\[ c \]

داریم. تابع تقاضای بازار

\[ Q = a - bP \]

است. اگر بنگاه 1 قیمت

\[ p_1 \]

و بنگاه 2 قیمت

\[ p_2 \]

تعیین کند:

اگر

\[ p_1 < p_2 \]

، تمام تقاضا به بنگاه 1 می رسد:

\[ q_1 = a - b p_1 \]

،

\[ q_2 = 0 \]

.

اگر

\[ p_1 > p_2 \]

، تمام تقاضا به بنگاه 2 می رسد:

\[ q_2 = a - b p_2 \]

،

\[ q_1 = 0 \]

.

اگر

\[ p_1 = p_2 = p \]

، بازار به دو نیم تقسیم می شود:

\[ q_1 = q_2 = \frac{a - b p}{2} \]

.

🔑 استدلال تعادل در برتراند:

هر بنگاه انگیزه دارد که قیمت خود را کمی کمتر از رقیب تعیین کند تا کل بازار را به دست آورد. این فرآیند تا جایی ادامه می یابد که قیمت به هزینه نهایی برسد. در

\[ p_1 = p_2 = c \]

، هیچ بنگاهی نمی تواند با کاهش قیمت (که منجر به زیان می شود) یا افزایش قیمت (که منجر به از دست دادن همه مشتریان می شود) سود خود را افزایش دهد. بنابراین

\[ (c, c) \]

یک تعادل نش است.

مثال ۱: دو بنگاه با هزینه های متفاوت:

📘 مثال:

فرض کنید هزینه نهایی بنگاه 1

\[ c_1 = 10 \]

و بنگاه 2

\[ c_2 = 12 \]

است. در این حالت، تعادل نش این است که بنگاه 1 قیمت

\[ p_1 = 11.99 \]

(کمی کمتر از 12) تعیین می کند و تمام بازار را می گیرد. بنگاه 2 نمی تواند با قیمت بالاتر از هزینه خود رقابت کند. بنابراین بنگاه با هزینه کمتر، کل بازار را تصاحب کرده و سود مثبت می برد.

مدل برتراند با محصولات متمایز (Differentiated Bertrand):

در این حالت، محصولات کاملا جانشین نیستند و مصرف کنندگان ممکن است به برند خاصی وفادار باشند. توابع تقاضا به صورت زیر هستند:

\[ q_1 = a - b p_1 + d p_2 \] \[ q_2 = a - b p_2 + d p_1 \]

که

\[ d \]

نشان دهنده درجه جانشینی است (

\[ 0 < d < b \]

). توابع سود:

\[ \pi_1 = (p_1 - c_1)(a - b p_1 + d p_2) \]

،

\[ \pi_2 = (p_2 - c_2)(a - b p_2 + d p_1) \]

.

با مشتق گیری و حل دستگاه معادلات، قیمت های تعادلی به دست می آیند:

\[ p_1^* = \frac{2b(a + b c_1) + d(a + b c_2)}{4b^2 - d^2} \] \[ p_2^* = \frac{2b(a + b c_2) + d(a + b c_1)}{4b^2 - d^2} \]

مثال عددی:

\[ a=100 \]

،

\[ b=2 \]

،

\[ d=1 \]

،

\[ c_1=c_2=10 \]

. قیمت ها:

\[ p^* = \frac{2\times2(100+20) + 1(100+20)}{4\times4 - 1} = \frac{4\times120 + 120}{16-1} = \frac{480+120}{15} = \frac{600}{15}=40 \]

.

مقایسه برتراند و کورنو:

در کورنو، بنگاه ها بر سر مقدار رقابت می کنند و قیمت بالاتر از هزینه نهایی است.

در برتراند با محصولات همگن، قیمت به هزینه نهایی می رسد (رقابت شدیدتر).

با محصولات متمایز، برتراند نیز به قیمت های بالاتر از هزینه نهایی منجر می شود.

مزایای مدل برتراند:

واقع بینانه تر در صنایعی که بنگاه ها قیمت را تعیین می کنند (خرده فروشی، خدمات)

نشان دهنده قدرت رقابت قیمتی

قابل تعمیم به محصولات متمایز و بازارهای با اطلاعات ناقص

معایب و محدودیت ها:

پارادوکس برتراند (رسیدن قیمت به هزینه نهایی) در عمل کمتر دیده می شود

فرض عدم محدودیت ظرفیت ممکن است واقع بینانه نباشد

در عمل، بنگاه ها ممکن است با محدودیت ظرفیت مواجه باشند که مدل را تغییر می دهد (مدل اج ورث)

کاربردها در قیمت گذاری:

تحلیل رقابت قیمتی در فروشگاه های زنجیره ای

قیمت گذاری در بازارهای آنلاین (مانند دیجی کالا)

بررسی اثر تمایز محصول بر قدرت قیمت گذاری

تحلیل سیاست های ضدانحصار در صنایع با رقابت قیمتی