مدل قیمت گذاری رقابت کورنو (Cournot Competition Pricing Model)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع مدل های قیمت گذاری (Pricing Models) را در آموزش زیر شرح دادیم :
مدل قیمت گذاری رقابت کورنو (Cournot Competition Pricing Model) :
مدل رقابت کورنو (Cournot Competition) که توسط آگوستین کورنو در سال ۱۸۳۸ معرفی شد، یکی از اولین و مهم ترین مدل های تحلیل بازارهای انحصار چندجانبه است. در این مدل، بنگاه ها بر سر مقدار تولید (نه قیمت) با یکدیگر رقابت می کنند. هر بنگاه با فرض ثابت بودن مقدار تولید رقبا، مقدار تولید خود را انتخاب می کند. سپس قیمت بازار بر اساس کل عرضه و تابع تقاضا تعیین می شود.
فرضیات مدل کورنو:
چند بنگاه وجود دارد که محصول همگن تولید می کنند.
بنگاه ها به طور هم زمان مقدار تولید خود را انتخاب می کنند.
هر بنگاه مقدار تولید رقبا را ثابت فرض می کند.
قیمت توسط تابع تقاضای بازار و کل عرضه تعیین می شود:
\[ P = f(Q) \]که
\[ Q = \sum q_i \].
بنگاه ها به دنبال حداکثر کردن سود خود هستند.
مسأله هر بنگاه i:
\[ \max_{q_i} \pi_i(q_i, q_{-i}) = P(q_i + q_{-i}) \times q_i - C_i(q_i) \]شرط مرتبه اول:
\[ \frac{\partial \pi_i}{\partial q_i} = P(Q) + P'(Q) q_i - MC_i(q_i) = 0 \]🔑 تابع واکنش (Reaction Function):
از شرط مرتبه اول، مقدار بهینه
\[ q_i \]را به صورت تابعی از
\[ q_{-i} \]به دست می آوریم:
\[ q_i = R_i(q_{-i}) \]. این تابع بهترین واکنش بنگاه i به مجموع تولید رقبا را نشان می دهد.
مراحل یافتن تعادل کورنو:
گام ۱: نوشتن تابع سود هر بنگاه با توجه به تابع تقاضای معکوس بازار
گام ۲: محاسبه شرط مرتبه اول و استخراج تابع واکنش هر بنگاه
گام ۳: حل دستگاه معادلات توابع واکنش برای یافتن مقادیر تولید تعادلی
گام ۴: محاسبه قیمت تعادلی از تابع تقاضا با جایگذاری تولید کل
مثال ۱: دو بنگاه با هزینه نهایی ثابت و تقاضای خطی:
📘 مثال:
تابع تقاضای معکوس:
\[ P = a - bQ \]،
\[ Q = q_1 + q_2 \]. هزینه نهایی هر دو بنگاه:
\[ c \].
سود بنگاه 1:
\[ \pi_1 = (a - b(q_1+q_2) - c) q_1 \]شرط مرتبه اول:
\[ \frac{\partial \pi_1}{\partial q_1} = a - 2b q_1 - b q_2 - c = 0 \]→
\[ 2b q_1 = a - c - b q_2 \]→
\[ q_1 = \frac{a - c - b q_2}{2b} \](تابع واکنش بنگاه 1)
به طور متقارن:
\[ q_2 = \frac{a - c - b q_1}{2b} \]حل دستگاه:
\[ q_1^* = q_2^* = \frac{a-c}{3b} \]تولید کل:
\[ Q^* = \frac{2(a-c)}{3b} \]، قیمت:
\[ P^* = a - b \times \frac{2(a-c)}{3b} = \frac{a + 2c}{3} \]مثال ۲: n بنگاه متقارن:
با n بنگاه متقارن، هر بنگاه
\[ q_i = \frac{a-c}{(n+1)b} \]تولید می کند. تولید کل:
\[ Q = \frac{n(a-c)}{(n+1)b} \]، قیمت:
\[ P = \frac{a + n c}{n+1} \].
با افزایش تعداد بنگاه ها (n)، قیمت به سمت هزینه نهایی c میل می کند (نتیجه رقابت کامل).
مثال ۳: بنگاه ها با هزینه های متفاوت:
فرض کنید دو بنگاه با هزینه های نهایی
\[ c_1 \]و
\[ c_2 \]داریم،
\[ c_1 < c_2 \]. توابع واکنش:
\[ q_1 = \frac{a - c_1 - b q_2}{2b} \]،
\[ q_2 = \frac{a - c_2 - b q_1}{2b} \]حل دستگاه:
\[ q_1^* = \frac{a - 2c_1 + c_2}{3b} \]،
\[ q_2^* = \frac{a - 2c_2 + c_1}{3b} \]بنگاه با هزینه کمتر (c1) سهم بازار بیشتری دارد.
مقایسه کورنو با برتراند و انحصار:
در انحصار:
\[ Q_m = \frac{a-c}{2b} \]،
\[ P_m = \frac{a+c}{2} \]در کورنو دوتایی:
\[ Q_c = \frac{2(a-c)}{3b} \]،
\[ P_c = \frac{a+2c}{3} \]در برتراند با محصول همگن:
\[ P_b = c \]،
\[ Q_b = \frac{a-c}{b} \]ترتیب قیمت:
\[ P_m > P_c > P_b \]مزایای مدل کورنو:
ساده و قابل فهم
پیش بینی می کند که با افزایش تعداد بنگاه ها، قیمت کاهش می یابد
مناسب برای صنایعی که بنگاه ها ظرفیت تولید محدود دارند (رقابت بر سر سهم بازار)
معایب و محدودیت ها:
فرض می کند بنگاه ها مقدار تولید را انتخاب می کنند، نه قیمت (در برخی صنایع واقع بینانه نیست)
فرض ثابت بودن تولید رقبا ممکن است ساده لوحانه باشد
برای محصولات متمایز کمتر مناسب است
کاربردها در قیمت گذاری:
صنایع با محصولات همگن مانند فولاد، سیمان، نفت
بازارهای با محدودیت ظرفیت تولید (مانند برق)
تحلیل اثر تعداد بنگاه ها بر قیمت و رفاه اجتماعی
مطالعه اثر مالیات و یارانه بر تولید و قیمت در بازارهای انحصار چندجانبه
