مدل قیمت گذاری GARCH (انگلیسی : GARCH Model for Price Volatility)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع مدل های قیمت گذاری (Pricing Models) را در آموزش زیر شرح دادیم :

مدل قیمت گذاری GARCH (انگلیسی : GARCH Model for Price Volatility) :

مدل GARCH (Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity) یکی از مهم ترین و پرکاربردترین مدل ها در اقتصاد مالی برای مدل سازی و پیش بینی نوسانات (Volatility) قیمت دارایی ها است. این مدل توسط تیم بولرسلو در سال ۱۹۸۶ معرفی شد و توسعه یافته مدل ARCH (انگل، ۱۹۸۲) است. ویژگی مهم مدل های GARCH این است که واریانس شرطی (نوسان) را به صورت خودرگرسیو مدل می کنند، یعنی نوسان امروز به نوسان ها و شوک های گذشته وابسته است.

فرمول اصلی مدل GARCH(p,q):

\[ \sigma_t^2 = \alpha_0 + \sum_{i=1}^{q} \alpha_i \varepsilon_{t-i}^2 + \sum_{j=1}^{p} \beta_j \sigma_{t-j}^2 \]

که در آن:

\[ \sigma_t^2 \]

: واریانس شرطی (نوسان) در زمان t (متغیر وابسته)

\[ \alpha_0 \]

: مقدار ثابت

\[ \varepsilon_{t-i}^2 \]

: مربع شوک ها (باقیمانده ها) در دوره های گذشته (جملات ARCH)

\[ \sigma_{t-j}^2 \]

: واریانس های شرطی گذشته (جملات GARCH)

\[ \alpha_i \]

: ضرایب جملات ARCH (نشان دهنده تأثیر شوک های recent)

\[ \beta_j \]

: ضرایب جملات GARCH (نشان دهنده تداوم نوسان)

🔑 ویژگی های کلیدی نوسانات مالی:

خوشه بندی نوسان (Volatility Clustering): دوره های نوسان بالا و پایین به صورت خوشه ای رخ می دهند.

بازگشت به میانگین (Mean Reversion): نوسان به یک سطح متوسط بلندمدت بازمی گردد.

اهرمی (Leverage Effect): شوک های منفی معمولا تأثیر بیشتری بر نوسان دارند (در مدل های EGARCH یا GJR-GARCH).

مراحل استفاده از مدل GARCH برای قیمت گذاری:

گام ۱: انتخاب سری زمانی (معمولا بازده های قیمت، نه خود قیمت) و بررسی ایستایی

گام ۲: برآورد یک مدل میانگین (مانند ARMA) برای بازده ها و ذخیره باقیمانده ها (ε_t)

گام ۳: آزمون اثر ARCH (آزمون LM) برای بررسی وجود ناهمسانی واریانس شرطی

گام ۴: تعیین مرتبه های p و q (معمولا GARCH(1,1) کافی است)

گام ۵: برآورد هم زمان مدل میانگین و مدل GARCH با روش حداکثر درستنمایی (MLE)

گام ۶: بررسی معناداری ضرایب و کیفیت مدل

گام ۷: پیش بینی نوسان (σ_t) برای دوره های آینده

مثال: مدل GARCH(1,1) برای بازده سهام:

📘 مثال:

فرض کنید مدل GARCH(1,1) برای بازده روزانه سهام الف به صورت زیر برآورد شده است:

\[ \sigma_t^2 = 0.00001 + 0.1 \varepsilon_{t-1}^2 + 0.85 \sigma_{t-1}^2 \]

تفسیر:

\[ \alpha_0 = 0.00001 \]

: سطح پایه نوسان

\[ \alpha_1 = 0.1 \]

: تأثیر شوک دیروز بر نوسان امروز (کوتاه مدت)

\[ \beta_1 = 0.85 \]

: تداوم نوسان (نوسان امروز به شدت به نوسان دیروز وابسته است)

مجموع

\[ \alpha_1 + \beta_1 = 0.95 \]

(نزدیک به 1) نشان دهنده تداوم بالای نوسان است.

اگر دیروز شوک ε_{t-1}=0.02 (2%) و نوسان دیروز σ_{t-1}^2=0.0004 بوده باشد، نوسان امروز:

\[ \sigma_t^2 = 0.00001 + 0.1 \times (0.02)^2 + 0.85 \times 0.0004 = 0.00001 + 0.00004 + 0.00034 = 0.00039 \]

σ_t = √0.00039 = 0.0197 (حدود 1.97%)

انواع دیگر مدل های خانواده GARCH:

EGARCH (Exponential GARCH): اثر نامتقارن شوک ها (شوک منفی نوسان را بیشتر افزایش می دهد).

GJR-GARCH: مشابه EGARCH، اثر اهرمی را مدل می کند.

TGARCH (Threshold GARCH): آستانه ای برای شوک ها.

IGARCH (Integrated GARCH): وقتی مجموع ضرایب نزدیک 1 است (نوسان پایدار).

MGARCH (Multivariate GARCH): برای مدل سازی هم زمان نوسان چند دارایی.

مزایای مدل GARCH:

توانایی مدل سازی خوشه بندی نوسان

پیش بینی دقیق تر نوسان نسبت به مدل های ساده

کاربرد گسترده در مدیریت ریسک (Value at Risk)

پایه ای برای قیمت گذاری اختیار معامله (مدل های نوسان تصادفی)

معایب و محدودیت ها:

پیچیدگی محاسباتی و برآورد

حساسیت به انتخاب توزیع خطاها (نرمال، t-student و ...)

مشکل در پیش بینی بلندمدت

فرض ثبات پارامترها در طول زمان (که ممکن است نقض شود)

کاربردها در قیمت گذاری:

مدل سازی و پیش بینی نوسان قیمت سهام، ارز، نفت و ...

قیمت گذاری اختیار معامله (با فرض نوسان متغیر)

محاسبه Value at Risk (VaR) برای پرتفوی

مدیریت ریسک و بهینه سازی سبد سهام

تحلیل اثر اخبار بر نوسان بازار