مدل قیمت گذاری میانگین متحرک (Moving Average Pricing Model)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع مدل های قیمت گذاری (Pricing Models) را در آموزش زیر شرح دادیم :

مدل قیمت گذاری میانگین متحرک (Moving Average Pricing Model) :

مدل میانگین متحرک (Moving Average Model - MA) یکی دیگر از مدل های پایه ای سری زمانی است که در آن مقدار جاری یک متغیر (مانند قیمت) بر اساس خطاهای پیش بینی گذشته (شوک های تصادفی) توضیح داده می شود. در این مدل، فرض می شود که قیمت امروز تحت تأثیر نوآوری ها (اخبار و شوک های) روزهای گذشته قرار دارد. مدل MA معمولا در ترکیب با مدل AR (مدل ARIMA) استفاده می شود.

فرمول عمومی مدل میانگین متحرک از مرتبه q (MA(q)):

\[ P_t = \mu + \varepsilon_t + \theta_1 \varepsilon_{t-1} + \theta_2 \varepsilon_{t-2} + ... + \theta_q \varepsilon_{t-q} \]

که در آن:

\[ P_t \]

: قیمت در زمان t

\[ \mu \]

: میانگین سری (ثابت)

\[ \varepsilon_t \]

: خطای تصادفی (نویز سفید) در زمان t

\[ \theta_1, \theta_2, ..., \theta_q \]

: ضرایب میانگین متحرک

\[ \varepsilon_{t-1}, ..., \varepsilon_{t-q} \]

: خطاهای گذشته

\[ q \]

: مرتبه مدل میانگین متحرک

🔑 تفاوت AR و MA:

در مدل AR، قیمت به قیمت های گذشته وابسته است. در مدل MA، قیمت به شوک ها و اخبار گذشته (خطاهای پیش بینی) وابسته است. مدل MA معمولا برای مدل سازی تأثیر رویدادهای غیرمنتظره بر قیمت استفاده می شود.

مراحل ساخت مدل میانگین متحرک:

گام ۱: جمع آوری داده های سری زمانی قیمت

گام ۲: بررسی ایستایی سری (مدل MA نیز به ایستایی نیاز دارد)

گام ۳: تعیین مرتبه q با استفاده از نمودار ACF (در MA(q)، ACF برای وقفه های بزرگتر از q به صفر می رسد)

گام ۴: برآورد مدل با روش حداکثر درستنمایی (MLE) یا روش های عددی

گام ۵: بررسی معناداری ضرایب و کیفیت مدل

گام ۶: تحلیل مانده ها برای اطمینان از نبود خودهمبستگی

گام ۷: پیش بینی با مدل

مثال: مدل MA(1) برای قیمت سهام:

📘 مثال:

فرض کنید مدل MA(1) برای بازده روزانه یک سهم به صورت زیر برآورد شده است:

\[ R_t = 0.001 + \varepsilon_t + 0.6 \varepsilon_{t-1} \]

این بدان معناست که بازده امروز تحت تأثیر شوک امروز (ε_t) و 60٪ از شوک دیروز (ε_{t-1}) است. اگر شوک دیروز 0.02 (2٪) بوده باشد، پیش بینی بازده امروز:

\[ R_t = 0.001 + 0 + 0.6 \times 0.02 = 0.001 + 0.012 = 0.013 = 1.3\% \]

(ε_t برای پیش بینی صفر در نظر گرفته می شود چون میانگین آن صفر است.)

مثال: مدل MA(2) برای قیمت طلا:

\[ P_t = 50 + \varepsilon_t + 0.4 \varepsilon_{t-1} - 0.2 \varepsilon_{t-2} \]

اگر خطاهای دو روز گذشته به ترتیب 2 و 1- باشند، پیش بینی قیمت امروز:

\[ P_t = 50 + 0 + 0.4 \times 2 + (-0.2) \times (-1) = 50 + 0.8 + 0.2 = 51 \]

دلار

تعیین مرتبه q با ACF:

در مدل MA(q)، تابع خودهمبستگی (ACF) برای وقفه های بزرگتر از q به طور ناگهانی به صفر می رسد (بریده می شود).

برای مثال، اگر در ACF فقط وقفه اول معنادار باشد، مدل MA(1) مناسب است.

این برعکس مدل AR است که در آن PACF بریده می شود.

مزایای مدل میانگین متحرک:

مناسب برای مدل سازی تأثیر شوک ها و اخبار

پارامترهای کمتر نسبت به AR با مرتبه بالا

قابلیت پیش بینی خوب در سری های با نوسان تصادفی

معایب و محدودیت ها:

تفسیر ضرایب دشوارتر از AR است

نیاز به روش های برآورد پیچیده تر (غیرخطی)

برای پیش بینی های بلندمدت مناسب نیست

وابستگی به فرض نرمال بودن خطاها

کاربردها در قیمت گذاری:

مدل سازی اثر اخبار و شوک های اقتصادی بر قیمت ها

پیش بینی کوتاه مدت قیمت در بازارهای پرنوسان

به عنوان بخشی از مدل ARIMA برای پیش بینی دقیق تر

تحلیل اثرات ماندگار شوک ها بر قیمت