مدل قیمت گذاری خودرگرسیو (Autoregressive Pricing Model)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع مدل های قیمت گذاری (Pricing Models) را در آموزش زیر شرح دادیم :

مدل قیمت گذاری خودرگرسیو (Autoregressive Pricing Model) :

مدل خودرگرسیو (Autoregressive Model - AR) یکی از پایه ای ترین و پرکاربردترین مدل های سری زمانی است که در آن مقدار جاری یک متغیر (مانند قیمت) بر اساس مقادیر گذشته همان متغیر توضیح داده می شود. به عبارت ساده، در این مدل فرض می شود که قیمت امروز به قیمت های دیروز، پریروز و ... وابسته است. این مدل در پیش بینی قیمت های مالی، تحلیل تکنیکال و بسیاری از حوزه های اقتصادسنجی کاربرد گسترده دارد.

فرمول عمومی مدل خودرگرسیو از مرتبه p (AR(p)):

\[ P_t = c + \phi_1 P_{t-1} + \phi_2 P_{t-2} + ... + \phi_p P_{t-p} + \varepsilon_t \]

که در آن:

\[ P_t \]

: قیمت در زمان t (متغیر وابسته)

\[ c \]

: عرض از مبدأ (ثابت)

\[ \phi_1, \phi_2, ..., \phi_p \]

: ضرایب خودرگرسیو (نشان دهنده میزان وابستگی به وقفه های مختلف)

\[ P_{t-1}, P_{t-2}, ..., P_{t-p} \]

: قیمت های گذشته با وقفه های ۱ تا p

\[ \varepsilon_t \]

: جمله خطای تصادفی (نویز سفید)

\[ p \]

: مرتبه مدل خودرگرسیو (تعداد وقفه های استفاده شده)

🔑 مفهوم خودرگرسیو:

کلمه "خودرگرسیو" به این معناست که متغیر بر روی خودش (با وقفه) رگرسیون می شود. این مدل بر این ایده استوار است که قیمت ها دارای حافظه هستند و الگوهای گذشته در آینده تکرار می شوند. برای مثال، در مدل AR(1) داریم:

\[ P_t = c + \phi_1 P_{t-1} + \varepsilon_t \]

مراحل ساخت و استفاده از مدل خودرگرسیو برای قیمت گذاری:

گام ۱: جمع آوری داده های سری زمانی قیمت (روزانه، هفتگی، ماهانه)

گام ۲: بررسی ایستایی سری قیمت (با آزمون ADF) و در صورت نیاز تفاضل گیری

گام ۳: تعیین مرتبه مدل (p) با استفاده از نمودارهای خودهمبستگی (ACF) و خودهمبستگی جزئی (PACF)

گام ۴: برآورد ضرایب مدل با روش حداقل مربعات معمولی (OLS) یا حداکثر درستنمایی (MLE)

گام ۵: بررسی معناداری آماری ضرایب و کیفیت مدل (R-squared، معیار AIC)

گام ۶: بررسی مانده ها (باقیمانده ها) برای اطمینان از نبود خودهمبستگی

گام ۷: استفاده از مدل برای پیش بینی قیمت های آتی

مثال: مدل AR(1) برای قیمت سهام:

📘 مثال عددی:

فرض کنید برای قیمت روزانه یک سهم، مدل AR(1) زیر برآورد شده است:

\[ P_t = 100 + 0.85 P_{t-1} + \varepsilon_t \]

ضریب 0.85 نشان می دهد که قیمت امروز 85٪ به قیمت دیروز وابسته است (وابستگی مثبت و قوی). اگر قیمت دیروز 1200 تومان بوده باشد، پیش بینی قیمت امروز:

\[ P_t = 100 + 0.85 \times 1200 = 100 + 1020 = 1120 \]

تومان

خطای پیش بینی (ε) تصادفی است و میانگین آن صفر فرض می شود.

مثال: مدل AR(2) برای قیمت نفت:

\[ P_t = 5 + 0.6 P_{t-1} + 0.2 P_{t-2} + \varepsilon_t \]

اگر قیمت های دو روز گذشته به ترتیب 70 و 68 دلار باشند، پیش بینی قیمت امروز:

\[ P_t = 5 + 0.6 \times 70 + 0.2 \times 68 = 5 + 42 + 13.6 = 60.6 \]

دلار

تعیین مرتبه مدل (p) با PACF:

نمودار PACF (خودهمبستگی جزئی) نشان می دهد که همبستگی بین

\[ P_t \]

و

\[ P_{t-k} \]

پس از حذف اثر وقفه های میانی چقدر است.

در مدل AR(p)، مقادیر PACF برای وقفه های بزرگتر از p به طور ناگهانی به صفر می رسند (بریده می شوند).

برای مثال، اگر در PACF فقط وقفه اول معنادار باشد، مدل AR(1) مناسب است.

مزایای مدل خودرگرسیو:

سادگی و تفسیرپذیری بالا

نیاز به داده های محدود (فقط سری زمانی قیمت)

کارایی خوب در پیش بینی کوتاه مدت

پایه ای برای مدل های پیچیده تر (ARIMA، SARIMA)

معایب و محدودیت ها:

فرض خطی بودن رابطه

ناتوانی در مدل سازی نوسانات (Volatility)

نیاز به ایستایی سری (در صورت ناایستایی، ضرایب اریب می شوند)

تأثیرپذیری از شکست های ساختاری

عدم در نظر گرفتن عوامل بنیادی و خارجی

کاربردها در قیمت گذاری:

پیش بینی کوتاه مدت قیمت سهام، ارز و کالاها

تحلیل تکنیکال و ساخت اندیکاتورهای معاملاتی

مدل سازی رفتار قیمت در بازارهای مالی

به عنوان بخشی از مدل های ترکیبی (مانند ARIMA)