مدل قیمت گذاری اختیار معامله به روش درخت دو جمله ای (Binomial Options Pricing Model)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع مدل های قیمت گذاری (Pricing Models) را در آموزش زیر شرح دادیم :
مدل قیمت گذاری اختیار معامله به روش درخت دو جمله ای (Binomial Options Pricing Model) :
مدل درخت دو جمله ای (Binomial Tree) یک روش عددی گسسته برای قیمت گذاری اختیار معامله است که توسط کاکس، راس و روبینشتاین در سال ۱۹۷۹ معرفی شد. این مدل ساده تر و شهودی تر از بلک-شولز است و می تواند برای اختیارهای آمریکایی (قابل اعمال در هر زمان) نیز استفاده شود. ایده اصلی این است که مسیر قیمت دارایی پایه را به صورت یک درخت گسسته با دو شاخه (بالا و پایین) در هر گره مدل کنیم.
ساختار درخت دو جمله ای:
بازه زمانی
\[ [0, T] \]به
\[ n \]گام مساوی تقسیم می شود.
در هر گام، قیمت می تواند با ضریب
\[ u \]افزایش یا با ضریب
\[ d \]کاهش یابد.
احتمال خنثی نسبت به ریسک برای حرکت به سمت بالا
\[ p \]و به سمت پایین
\[ 1-p \]است.
\[ u = e^{\sigma \sqrt{\Delta t}}, \quad d = e^{-\sigma \sqrt{\Delta t}} = \frac{1}{u} \] \[ p = \frac{e^{r \Delta t} - d}{u - d} \]مراحل قیمت گذاری با درخت دو جمله ای:
گام ۱: ساخت درخت قیمت دارایی پایه از زمان
\[ t=0 \]تا
\[ t=T \]گام ۲: محاسبه ارزش اختیار در گره های نهایی (سررسید) با توجه به نوع اختیار (Call/Put)
گام ۳: بازگشت به عقب (Backward Induction) با استفاده از فرمول ارزش گذاری خنثی نسبت به ریسک در هر گره:
\[ C = e^{-r \Delta t} [p C_u + (1-p) C_d] \]گام ۴: برای اختیار آمریکایی، در هر گره ارزش اختیار را با ارزش اعمال زودهنگام مقایسه کرده و بزرگ ترین را انتخاب می کنیم.
🔑 مزایای مدل درخت دو جمله ای:
قابلیت قیمت گذاری اختیارهای آمریکایی و برمودایی
سادگی درک و پیاده سازی
انعطاف پذیری در مدل سازی ویژگی های پیچیده (مانند سود سهام)
با افزایش تعداد گام ها، نتیجه به مدل بلک-شولز (برای اختیار اروپایی) همگرا می شود.
📘 مثال با یک گام (مدل یک دوره ای):
فرض کنید سهمی با قیمت ۸۰ دلار، قیمت اعمال ۸۲ دلار، نرخ بهره ۶٪، زمان تا سررسید ۱ سال، نوسان ۲۰٪. با استفاده از فرمول ها:
\[ u = e^{0.2 \times 1} = 1.2214 \]،
\[ d = 1/1.2214 = 0.8187 \] \[ p = \frac{e^{0.06} - 0.8187}{1.2214 - 0.8187} = \frac{1.0618 - 0.8187}{0.4027} = \frac{0.2431}{0.4027} = 0.6037 \]قیمت سهم در حالت بالا:
\[ 80 \times 1.2214 = 97.71 \]، ارزش اختیار خرید =
\[ 97.71 - 82 = 15.71 \]قیمت سهم در حالت پایین:
\[ 80 \times 0.8187 = 65.50 \]، ارزش اختیار خرید =
\[ 0 \](چون از قیمت اعمال کمتر است)
ارزش اختیار در زمان ۰:
\[ e^{-0.06} [0.6037 \times 15.71 + (1-0.6037) \times 0] = 0.9418 \times 9.48 = 8.93 \]دلار
تعداد گام ها و دقت: با افزایش تعداد گام ها (مثلا ۱۰۰ گام)، دقت مدل افزایش می یابد و به قیمت واقعی نزدیک تر می شود. در عمل معمولا از ۵۰ تا ۱۰۰۰ گام استفاده می شود.
کاربردهای مدل درخت دو جمله ای:
قیمت گذاری اختیارهای آمریکایی روی سهام با سود سهام
ارزش گذاری اختیارهای روی ارز و کالاها
قیمت گذاری اوراق بهادار با ویژگی های اختیاری (مانند اوراق قابل بازخرید)
آموزش مفاهیم قیمت گذاری مشتقات به دانشجویان
