مدل بلک-شولز (Black-Scholes Model)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع مدل های قیمت گذاری (Pricing Models) را در آموزش زیر شرح دادیم :
مدل بلک-شولز (Black-Scholes Model) :
مدل بلک-شولز که توسط فیشر بلک، مایرون شولز و رابرت مرتون در سال ۱۹۷۳ توسعه یافت، انقلابی در بازارهای مالی ایجاد کرد. این مدل اولین فرمول تحلیلی برای قیمت گذاری اختیار معامله اروپایی ارائه داد و شولز و مرتون جایزه نوبل اقتصاد ۱۹۹۷ را دریافت کردند (بلک پیش از دریافت جایزه درگذشت).
فرمول بلک-شولز برای اختیار خرید اروپایی:
\[ C = S_0 N(d_1) - K e^{-rT} N(d_2) \]که در آن:
\[ d_1 = \frac{\ln(\frac{S_0}{K}) + (r + \frac{\sigma^2}{2})T}{\sigma \sqrt{T}} \] \[ d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T} \]\[ S_0 \]
: قیمت فعلی دارایی پایه
\[ K \]
: قیمت اعمال (Strike Price)
\[ r \]
: نرخ بهره بدون ریسک
\[ \sigma \]
: نوسان قیمت دارایی پایه
\[ T \]
: زمان تا سررسید (برحسب سال)
\[ N(\cdot) \]
: تابع توزیع تجمعی نرمال استاندارد
🔑 فروض مدل بلک-شولز:
قیمت دارایی پایه از توزیع لوگ نرمال پیروی می کند.
نوسان و نرخ بهره ثابت هستند.
بازار کارا است و هزینه معاملاتی وجود ندارد.
خرید و فروش دارایی به طور پیوسته امکان پذیر است.
اختیار از نوع اروپایی است (فقط در سررسید قابل اعمال).
گام های محاسبه با بلک-شولز:
گام ۱: محاسبه
\[ d_1 \]و
\[ d_2 \]با استفاده از فرمول ها
گام ۲: یافتن مقادیر
\[ N(d_1) \]و
\[ N(d_2) \]از جدول نرمال یا نرم افزار
گام ۳: قرار دادن در فرمول اصلی برای قیمت اختیار
📘 مثال عددی کامل:
فرض کنید
\[ S_0 = 100 \]،
\[ K = 95 \]،
\[ r = 0.05 \]،
\[ \sigma = 0.2 \]،
\[ T = 0.5 \]سال. محاسبات:
\[ d_1 = \frac{\ln(100/95) + (0.05 + 0.2^2/2) \times 0.5}{0.2 \sqrt{0.5}} = \frac{0.0513 + (0.05+0.02) \times 0.5}{0.1414} = \frac{0.0513 + 0.035}{0.1414} = \frac{0.0863}{0.1414} = 0.610 \] \[ d_2 = 0.610 - 0.1414 = 0.4686 \]با استفاده از جدول نرمال:
\[ N(0.610) = 0.7291 \]و
\[ N(0.4686) = 0.6808 \] \[ C = 100 \times 0.7291 - 95 \times e^{-0.05 \times 0.5} \times 0.6808 = 72.91 - 95 \times 0.9753 \times 0.6808 = 72.91 - 63.06 = 9.85 \]بنابراین قیمت منصفانه اختیار خرید ۹.۸۵ دلار است.
تأثیر پارامترها بر قیمت اختیار (یونانی ها - Greeks):
دلتا (
\[ \Delta \]): حساسیت قیمت اختیار به تغییر قیمت دارایی پایه =
\[ N(d_1) \]گاما (
\[ \Gamma \]): حساسیت دلتا به تغییر قیمت دارایی
وتا (Vega): حساسیت به تغییر نوسان
تتا (
\[ \Theta \]): حساسیت به گذر زمان
رو (Rho): حساسیت به تغییر نرخ بهره
انتقادات و توسعه ها: مدل بلک-شولز با وجود موفقیت، فروض محدودکننده ای دارد. در بازارهای واقعی، نوسان ثابت نیست (لبخند نوسان) و توزیع بازده ها دارای دنباله های پهن (Fat Tails) است. مدل های پیشرفته تر مانند بلک-شولز با نوسان تصادفی، مدل های پرش-دیفیوژن و مدل های واریانس گاما برای رفع این نواقص ارائه شده اند.
