تمرین : انتگرال $\int {{{{e^{ - \sqrt x }}} \over {\sqrt x }}dx}$ را حل کنید (ریاضیات - Mathematics)

تمرین : انتگرال (Integral) زیر را حل کنید :

$\int {{{{e^{ - \sqrt x }}} \over {\sqrt x }}dx}$

حل تمرین :

تغییر متغیر (Change of Variables) زیر را در نظر می گیریم :

$u = - \sqrt x = - {x^{{1 \over 2}}}$

بنابراین :

$du = - {1 \over 2}{x^{ - {1 \over 2}}}dx \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ - 2du = {x^{ - {1 \over 2}}}dx$

اکنون تغییر متغیر (Change of Variables) را در انتگرال (Integral) جایگذاری می کنیم :

$\eqalign{ & \int {{{{e^{ - \sqrt x }}} \over {\sqrt x }}dx} = \int {{e^{ - \sqrt x }} \cdot {1 \over {\sqrt x }}dx} = \int {{e^{ - {x^{{1 \over 2}}}}} \cdot {x^{ - {1 \over 2}}}dx} = \cr & = - 2\int {{e^u}du} \cr}$

نکته

برای هر متغیر (Variable) دلخواه y داریم ( آموزش شماره 10089 ) :

$\int {{e^y}dy} = {e^y} + C$

با توجه به نکته بالا :

$- 2\int {{e^u}du} = - 2{e^u} + C$

اکنون عبارت معادل u را جایگذاری می کنیم :

$\eqalign{ & u = - \sqrt x = - {x^{{1 \over 2}}} \ \ \ \ \Rightarrow \cr & - 2{e^u} + C = - 2{e^{ - {x^{{1 \over 2}}}}} + C = - 2{e^{ - \sqrt x }} + C \cr}$

بنابراین :