اعداد اویلر (Euler Numbers)

چند جمله ای های اویلر (Euler polynomials) به صورت زیر تعریف می شوند :

\[ \frac{{2{e^{xt}}}}{{{e^x} + 1}} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{D_n}(t)\frac{{{x^n}}}{{n!}}} \quad\quad\quad \left| x \right| < \pi \]

اگر در فرمول بالا، مقدار $ t = \frac{1}{2} $ و $ {E_n} = {( - 1)^n}{2^{2n}}{D_{2n}}\left( {\frac{1}{2}} \right) $ را قرار بدهیم، عبارت زیر حاصل می شود :

\[ \begin{array}{l} \frac{{2{{\left( {\sqrt e } \right)}^x}}}{{{e^x} + 1}} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{D_n}\left( {\frac{1}{2}} \right)\frac{{{x^n}}}{{n!}}} \\ \quad\quad\quad\quad = 1 - \frac{{{E_1}{x^2}}}{{{2^2} \times 2!}} + \frac{{{E_2}{x^4}}}{{{2^4} \times 4!}} + \frac{{{E_3}{x^6}}}{{{2^6} \times 6!}} - ... \quad\quad\quad \left| x \right| < \pi \end{array} \]

که در آن :

\[ \begin{array}{l} {E_1} = 1, \quad\quad\ {E_2} = 5, \quad\quad\ {E_3} = 61, \quad\quad\ {E_4} = 1385, \\ {E_5} = 50521, \quad\quad\ {E_6} = 2702765, \quad\quad\ ... \end{array} \]

این اعداد $ E_n $ ، اعداد اویلر (Euler Numbers) نامیده می شوند.