موج خطی (Linear Wave)، در فیزیک (Physics)
انواع امواج (Wave)، در فیزیک (Physics) را در آموزش زیر شرح دادیم :
موج خطی (Linear Wave) :
موج خطی (Linear Wave) موجی است که در یک محیط خطی منتشر می شود، یعنی معادله دیفرانسیل حاکم بر آن خطی است. مهم ترین ویژگی امواج خطی، برقراری اصل برهم نهی (Superposition principle) است. بر اساس این اصل، اگر دو موج (یا بیشتر) از یک محیط خطی عبور کنند، جابجایی (یا اختلال) کل در هر نقطه، مجموع جابجایی های ناشی از هر موج به تنهایی است. به عبارت دیگر، امواج بدون تأثیر بر یکدیگر از هم عبور می کنند و در محل تلاقی فقط جمع می شوند و سپس به حرکت خود ادامه می دهند. این ویژگی تحلیل امواج را بسیار ساده تر می کند، زیرا می توان یک موج پیچیده را به مجموع امواج ساده تر (مثلا امواج سینوسی با استفاده از سری فوریه) تجزیه کرد.
معادله موج خطی: معادله موج خطی عمومی در یک بعد به صورت زیر است:
\[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \]که در آن
\[ u(x,t) \]کمیت موجی (مثلا جابجایی) و
\[ v \]سرعت موج است. این معادله خطی است، زیرا توان متغیر وابسته
\[ u \]و مشتقات آن برابر یک است. جواب های این معادله را می توان بر حسب ترکیب خطی از جواب های پایه (مانند امواج سینوسی) نوشت. اگر در معادله جملات غیرخطی مانند
\[ u \frac{\partial u}{\partial x} \]ظاهر شود، معادله غیرخطی می شود و اصل برهم نهی دیگر برقرار نیست.
شرط خطی بودن: در عمل، بسیاری از امواج تا زمانی که دامنه آنها به اندازه کافی کوچک باشد، رفتاری خطی دارند. با افزایش دامنه، اثرات غیرخطی ظاهر می شوند. برای مثال، امواج صوتی با شدت کم در هوا کاملا خطی هستند، اما امواج صوتی با شدت بسیار بالا (مانند موج ضربه ای) غیرخطی می شوند. همچنین امواج روی سطح آب با دامنه کوچک (در مقایسه با طول موج) خطی هستند، اما با افزایش دامنه، رفتار غیرخطی از خود نشان می دهند.
مثال های امواج خطی: - امواج صوتی با شدت کم در هوا، آب و جامدات. - امواج الکترومغناطیسی در خلاء و محیط های خطی (مانند شیشه): در شدت های پایین (نور معمولی) خطی هستند، اما در شدت های بسیار بالا (لیزرهای پرقدرت) اثرات غیرخطی ظاهر می شوند. - امواج کوچک روی سطح آب (در تقریب خطی). - امواج در تار و طناب با کشش ثابت و دامنه کوچک. - امواج کوانتومی (تابع موج) در معادله شرودینگر وابسته به زمان: این معادله نیز خطی است، بنابراین اصل برهم نهی در مکانیک کوانتومی برقرار است.
مزایای تحلیل خطی: 1. سادگی ریاضی: معادلات خطی به خوبی شناخته شده اند و روش های حل متنوعی برای آنها وجود دارد (مانند تبدیل فوریه، جداسازی متغیرها). 2. اصل برهم نهی: امکان تجزیه امواج پیچیده به اجزای ساده تر و تحلیل جداگانه آنها. 3. پیش بینی پذیری: رفتار امواج خطی قابل پیش بینی است و می توان با دقت بالا مدل سازی کرد. به دلیل این مزایا، بسیاری از پدیده های موجی در تقریب خطی تحلیل می شوند و نتایج حاصل برای بسیاری از کاربردهای عملی کافی است.
