موج سه بعدی / کروی (Three-Dimensional / Spherical Wave)، در فیزیک (Physics)
انواع امواج (Wave)، در فیزیک (Physics) را در آموزش زیر شرح دادیم :
موج سه بعدی / کروی (Three-Dimensional / Spherical Wave) :
موج سه بعدی کروی (Spherical Wave) موجی است که از یک منبع نقطه ای در فضا به طور یکنواخت در همه جهات منتشر می شود. جبهه موج در این حالت به صورت کره های متحدالمرکزی است که مرکز آنها منبع است. نور یک لامپ کوچک در یک اتاق تاریک (در تقریب اول) یا صدای یک بلندگو در فضای باز نمونه هایی از موج کروی هستند. تحلیل امواج کروی در مختصات کروی انجام می شود و به دلیل تقارن کروی، معادلات ساده تر می شوند. این نوع موج یکی از مهم ترین انواع موج در فیزیک است، زیرا بسیاری از منابع موج (نور، صوت، امواج لرزه ای) در تقریب اول به صورت منابع نقطه ای مدل می شوند که امواج کروی تولید می کنند.
معادله موج کروی: معادله موج در سه بعد در مختصات کروی برای یک موج با تقارن کروی (یعنی فقط به فاصله از مبدأ
\[ r \]وابسته باشد) به صورت زیر درمی آید:
\[ \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial u}{\partial r}\right) = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \]با تعریف تابع جدید
\[ \phi(r,t) = r u(r,t) \]، این معادله به معادله موج یک بعدی ساده تبدیل می شود:
\[ \frac{\partial^2 \phi}{\partial r^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} \]جواب عمومی این معادله به صورت
\[ \phi(r,t) = f(r - vt) + g(r + vt) \]است. بنابراین، جواب برای
\[ u \]به صورت زیر خواهد بود:
\[ u(r,t) = \frac{f(r - vt)}{r} + \frac{g(r + vt)}{r} \]جمله اول یک موج کروی واگرا (به سمت خارج) و جمله دوم یک موج کروی همگرا (به سمت داخل) را نشان می دهد. عامل
\[ 1/r \]نشان می دهد که دامنه موج کروی با فاصله از منبع کاهش می یابد.
کاهش دامنه با فاصله: عامل
\[ 1/r \]در دامنه موج کروی نتیجه پایستگی انرژی است. انرژی کل موج که از منبع گسیل می شود، روی سطح کره ای با مساحت
\[ 4\pi r^2 \]پخش می شود. بنابراین، شدت موج (انرژی در واحد سطح در واحد زمان) با
\[ 1/r^2 \]کاهش می یابد. از آنجا که شدت با مجذور دامنه متناسب است، دامنه باید با
\[ 1/r \]کاهش یابد. این کاهش دامنه را در زندگی روزمره تجربه می کنیم: هر چه از یک منبع صوت دورتر شویم، صدا ضعیف تر می شود.
مثال های فیزیکی: - نور یک ستاره دور: ستارگان را می توان به عنوان منابع نقطه ای نور در نظر گرفت که امواج کروی به سمت زمین می فرستند. با این حال، در فاصله بسیار زیاد، جبهه موج دریافتی در زمین تقریبا تخت است. - صوت یک بلندگو در فضای باز: در فضای باز بدون مانع، صوت به صورت موج کروی از بلندگو منتشر می شود. - امواج لرزه ای ناشی از یک زمین لرزه: امواج P و S از کانون زمین لرزه به صورت امواج کروی در داخل زمین منتشر می شوند. - امواج رادیویی از یک آنتن همسانگرد: یک آنتن ایده آل همسانگرد (Isotropic antenna) که در همه جهات به طور یکسان تابش می کند، امواج کروی تولید می کند.
تقریب موج تخت: در فواصل بسیار دور از منبع (
\[ r \]بسیار بزرگ)، بخش کوچکی از جبهه موج کروی را می توان به صورت یک موج تخت (Plane Wave) تقریب زد. این تقریب در بسیاری از مسائل اپتیک و فیزیک موجی به کار می رود و محاسبات را بسیار ساده می کند. برای مثال، نور خورشید در سطح زمین را می توان به صورت امواج تخت در نظر گرفت.
