امواج در غشا (Waves on a Membrane)، در فیزیک (Physics)
انواع امواج (Wave)، در فیزیک (Physics) را در آموزش زیر شرح دادیم :
امواج در غشا (Waves on a Membrane) :
امواج در غشا (Waves on a Membrane) به امواج دو بعدی گفته می شود که روی یک سطح کشسان نازک منتشر می شوند. غشا یک سطح دو بعدی است که در لبه های خود ثابت شده و تحت کشش یکنواخت در همه جهات قرار دارد. صفحه طبل (درام) بهترین مثال برای یک غشای کشسان است. وقتی به پوست طبل ضربه می زنید، امواج دو بعدی روی سطح آن منتشر می شوند. این امواج از لبه ها بازتابیده شده و الگوی پیچیده ای از امواج ایستاده ایجاد می کنند که به شکل نقاط گره و آنتی گره در سطح طبل دیده می شود. تحلیل ریاضی امواج روی غشا پیچیده تر از امواج روی تار است و به معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی در دو بعد وابسته است.
معادله موج در غشا: معادله حاکم بر ارتعاشات یک غشای ایده آل (کاملا انعطاف پذیر با جرم سطحی یکنواخت و کشش سطحی یکنواخت
\[ T \]) به صورت زیر است:
\[ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 z}{\partial t^2} \]که در آن
\[ z(x,y,t) \]جابجایی عمودی غشا (در راستای عمود بر صفحه) و سرعت موج
\[ v \]برابر است با:
\[ v = \sqrt{\frac{T}{\sigma}} \]که
\[ \sigma \]چگالی سطحی (جرم بر واحد سطح) غشا است. این معادله موج دو بعدی است و جواب های آن به مختصات
\[ x \]و
\[ y \]بستگی دارند.
امواج ایستاده روی غشای دایره ای: اگر غشا به شکل دایره با شعاع
\[ R \]باشد (مانند طبل)، با استفاده از مختصات قطبی می توان معادله را حل کرد. جواب ها (مدهای ارتعاشی) با دو عدد کوانتومی مشخص می شوند: عدد n (تعداد گره های شعاعی) و عدد m (تعداد گره های زاویه ای). شکل مدها به صورت زیر است:
\[ z_{nm}(r,\theta,t) = A_{nm} J_m\left(\frac{\alpha_{mn} r}{R}\right) \cos(m\theta) \cos(\omega_{nm} t + \phi) \]که در آن
\[ J_m \]تابع بسل از مرتبه m است و
\[ \alpha_{mn} \]ریشه های معادله
\[ J_m(\alpha)=0 \]هستند. فرکانس های تشدید (طبیعی) از رابطه زیر به دست می آیند:
\[ f_{nm} = \frac{\omega_{nm}}{2\pi} = \frac{\alpha_{mn}}{2\pi R} \sqrt{\frac{T}{\sigma}} \]برخلاف تار که فرکانس های هارمونیک مضارب صحیح فرکانس اصلی هستند، فرکانس های غشا معمولا مضارب صحیح نیستند (غیر هارمونیک)، مگر در موارد خاص.
الگوهای گرهی: در هر مد ارتعاشی غشا، خطوطی وجود دارند که در آنها جابجایی همیشه صفر است. این خطوط خطوط گرهی نامیده می شوند. برای غشای دایره ای، این خطوط می توانند دایره های متحدالمرکز (گره های شعاعی) و خطوطی که از مرکز می گذرند (گره های قطری) باشند. با ریختن مقداری شن یا نمک روی غشا و به ارتعاش درآوردن آن، شن در امتداد خطوط گرهی جمع می شود و الگوی زیبایی به نام اشکال کلدنی (Chladni patterns) ایجاد می کند. این روشی بصری برای مشاهده مدهای ارتعاشی است.
کاربردها: مهم ترین کاربرد امواج در غشا در سازهای کوبه ای مانند طبل، تیمپانی، و دهل است. طراحی این سازها بر اساس مدهای ارتعاشی غشا و نحوه تحریک آنها برای تولید صدای دلخواه انجام می شود. در مهندسی مکانیک، تحلیل ارتعاشات غشاها برای طراحی دیافراگم ها (در میکروفون ها و بلندگوها)، سنسورهای فشار، و سازه های نازک اهمیت دارد. در نانوتکنولوژی، غشاهای بسیار نازک (گرافن) برای ساخت حسگرهای فوق حساس ارتعاشی مورد مطالعه قرار می گیرند.
تفاوت با تار: مهم ترین تفاوت امواج در غشا و تار در دو بعدی بودن غشا و چندبعدی بودن معادله است. این باعث می شود که طیف فرکانسی غشا غنی تر و پیچیده تر باشد. همچنین در غشا، پدیده هایی مانند چرخش خطوط گرهی و برهم کنش مدهای مختلف دیده می شود که در تار وجود ندارند. با این حال، مفاهیم پایه ای مانند سرعت موج، بازتاب، و تشدید در هر دو مشترک است.
