امواج در تار (Waves on a String)، در فیزیک (Physics)
انواع امواج (Wave)، در فیزیک (Physics) را در آموزش زیر شرح دادیم :
امواج در تار (Waves on a String) :
امواج در تار (Waves on a String) یک مثال کلاسیک و بنیادی از امواج مکانیکی یک بعدی است. تار یک ساز موسیقی (مانند گیتار، ویولن، پیانو) نمونه ای از یک تار کشیده است که بین دو نقطه ثابت بسته شده است. وقتی تار به ارتعاش درمی آید، امواج عرضی در طول آن منتشر می شوند. این امواج به انتهای تار می رسند و بازتابیده می شوند. تداخل امواج رفت و برگشت، امواج ایستاده ای را روی تار ایجاد می کند که بسامد تشدید (فرکانس های طبیعی) تار را تعیین می کنند. مطالعه امواج در تار نه تنها برای درک آلات موسیقی، بلکه برای درک مفاهیم بنیادی امواج مانند سرعت، بازتاب، تداخل و تشدید ضروری است.
معادله موج در تار: معادله حاکم بر ارتعاشات عرضی یک تار ایده آل (کاملا انعطاف پذیر با جرم یکنواخت) با کشش ثابت
\[ T \]و چگالی خطی
\[ \mu \](جرم بر واحد طول) به صورت زیر است:
\[ \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} \]که در آن
\[ y(x,t) \]جابجایی عرضی تار در موقعیت
\[ x \]و زمان
\[ t \]است و سرعت موج
\[ v \]برابر است با:
\[ v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} \]این معادله یک معادله موج خطی یک بعدی است و جواب های آن به صورت امواج رونده
\[ y = f(x \pm vt) \]هستند. سرعت موج با افزایش کشش افزایش و با افزایش چگالی خطی کاهش می یابد.
امواج ایستاده روی تار: در یک تار با طول
\[ L \]که دو سر آن ثابت است (شرط مرزی
\[ y(0,t)=y(L,t)=0 \])، فقط امواجی با طول موج های خاص می توانند پایدار باشند. این امواج حاصل تداخل امواج رفت و برگشت هستند و امواج ایستاده نامیده می شوند. طول موج های مجاز از رابطه
\[ \lambda_n = 2L/n \]به دست می آیند، که در آن
\[ n=1,2,3,... \]عدد طبیعی است. فرکانس های متناظر (فرکانس های تشدید) نیز عبارتند از:
\[ f_n = \frac{v}{\lambda_n} = \frac{n}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}} \] \[ n=1 \]مربوط به مد اصلی (اولین هارمونیک) و
\[ n>1 \]مربوط به هارمونیک های بالاتر (اورتون ها) است. شکل موج ایستاده به صورت
\[ y_n(x,t) = A_n \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \cos(\omega_n t + \phi_n) \]است که در آن نقاط با دامنه صفر گره و نقاط با بیشترین دامنه آنتی گره نامیده می شوند.
کاربرد در آلات موسیقی: در سازهای زهی مانند گیتار، ویولن و پیانو، نت های مختلف با تغییر فرکانس تشدید تار تولید می شوند. این تغییر فرکانس از سه طریق انجام می شود: 1. تغییر کشش تار (با کوک کردن): افزایش کشش، فرکانس را افزایش می دهد (زیرتر شدن صدا). 2. تغییر جرم در واحد طول (با استفاده از تارهای با ضخامت و جنس مختلف): تارهای غلیظتر (
\[ \mu \]بیشتر) فرکانس کمتری دارند (بم ترند). 3. تغییر طول مؤثر تار (با انگشت گذاشتن روی دسته گیتار): کوتاه تر کردن طول تار (کاهش
\[ L \]) فرکانس را افزایش می دهد. کیفیت صدا (تُن) به تعداد و دامنه هارمونیک های حاضر در ارتعاش بستگی دارد.
انرژی موج در تار: انرژی یک موج در تار شامل دو بخش است: انرژی جنبشی (به دلیل حرکت ذرات تار) و انرژی پتانسیل (به دلیل کشیدگی تار). چگالی انرژی خطی (انرژی در واحد طول) برای یک موج رونده سینوسی برابر
\[ \frac{1}{2} \mu \omega^2 A^2 \]است. توان متوسط انتقالی توسط موج نیز برابر
\[ \frac{1}{2} \mu v \omega^2 A^2 \]است. این روابط نشان می دهند که انرژی موج با مجذور دامنه و مجذور فرکانس متناسب است.
میرایی و عوامل غیرایده آل: در عمل، تارها کاملا ایده آل نیستند. عواملی مانند اصطکاک با هوا، اتلاف انرژی در نقاط تکیه گاه، و سختی خمشی تار (انعطاف پذیری محدود) باعث میرایی (کاهش تدریجی دامنه) و تغییر جزئی در فرکانس های تشدید می شوند. همچنین در تارهای واقعی، سرعت موج ممکن است به فرکانس وابسته باشد (پدیده پاشندگی). با این حال، مدل ساده تار ایده آل برای بسیاری از کاربردها از جمله طراحی سازها و تحلیل ارتعاشات مهندسی بسیار مفید است.
