در این مبحث، سری های (series) معادل برای توابع مثلثاتی (Trigonometric functions) را ذکر می کنیم.

بسط سری تیلور (Taylor Series Expansion) برای توابع مثلثاتی (Trigonometric Functions) : *

\[ \sin x = x - \frac{{{x^3}}}{{3!}} + \frac{{{x^5}}}{{5!}} - \frac{{{x^7}}}{{7!}} + ... \quad\quad\quad - \infty < x < \infty \]

\[ \cos x = 1 - \frac{{{x^2}}}{{2!}} + \frac{{{x^4}}}{{4!}} - \frac{{{x^6}}}{{6!}} + ... \quad\quad\quad - \infty < x < \infty \]

\[ \begin{array}{l} \tan x = x + \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{2{x^5}}}{{15}} + \frac{{17{x^7}}}{{315}} + \frac{{62{x^9}}}{{2835}} + ...\\ \quad\quad\quad + \frac{{{2^{2n}}({2^{2n}} - 1){B_n}{x^{2n - 1}}}}{{(2n)!}} + ... \quad\quad\quad \left| x \right| < \frac{\pi }{2} \end{array} \]

در فرمول بالا، $ B_n $ برابر اعداد برنولی (Bernoulli Numbers) می باشد.

\[ \begin{array}{l} \sec x = 1 + \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{5{x^4}}}{{24}} + \frac{{61{x^6}}}{{720}} + ...\\ \quad\quad\quad + \frac{{{E_n}{x^{2n}}}}{{(2n)!}} + ... \quad\quad\quad \left| x \right| < \frac{\pi }{2} \end{array} \]

در فرمول بالا، $ E_n $ برابر اعداد اویلر (Euler Numbers) می باشد.

\[ \begin{array}{l} \csc x = \frac{1}{x} + \frac{x}{6} + \frac{{7{x^3}}}{{360}} + \frac{{31{x^5}}}{{15120}} + ...\\ \quad\quad\quad + \frac{{2({2^{2n - 1}} - 1){B_n}{x^{2n - 1}}}}{{(2n)!}} + ... \quad\quad\quad 0 < \left| x \right| < \pi \end{array} \]

در فرمول بالا، $ B_n $ برابر اعداد برنولی (Bernoulli Numbers) می باشد.

\[ \begin{array}{l} \cot x = \frac{1}{x} - \frac{x}{3} - \frac{{{x^3}}}{{45}} - \frac{{2{x^5}}}{{945}} - ...\\ \quad\quad\quad - \frac{{{2^{2n}}{B_n}{x^{2n - 1}}}}{{(2n)!}} - ... \quad\quad\quad 0 < \left| x \right| < \pi \end{array} \]

در فرمول بالا، $ B_n $ برابر اعداد برنولی (Bernoulli Numbers) می باشد.