تمرین : مسئله مقدار اولیه (Initial Value Problem) به صورت $ {{{d^2}y} \over {d{x^2}}} = 1 - {e^{2x}} $ و $ \left\{ {\matrix{ {y\left( 1 \right) = - 1} \cr {{y^\prime }\left( 1 \right) = 0} \cr } } \right. $ را حل کنید
تمرین : مسئله مقدار اولیه (Initial Value Problem) زیر را حل کنید :
\[ {{{d^2}y} \over {d{x^2}}} = 1 - {e^{2x}} \] \[ \left\{ {\matrix{ {y\left( 1 \right) = - 1} \cr {{y^\prime }\left( 1 \right) = 0} \cr } } \right. \]حل تمرین :
\[ {{{d^2}y} \over {d{x^2}}} = 1 - {e^{2x}} \]از طرفین معادله، انتگرال (Integral) می گیریم :
\[ {{dy} \over {dx}} = \int {\left( {1 - {e^{2x}}} \right)dx} \]برای هر متغیر (Variable) دلخواه z داریم ( کلید شماره 10084 ) :
\[ \int {dz = z + C} \]برای هر متغیر (Variable) دلخواه z داریم ( کلید شماره 10089 ) :
\[ \int {{e^{2z}}dz} = {1 \over 2}{e^{2z}} + C \]با توجه به نکته های بالا :
\[ {{dy} \over {dx}} = \int {\left( {1 - {e^{2x}}} \right)dx} \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ {{dy} \over {dx}} = x - {1 \over 2}{e^{2x}} + C \]برای محاسبه مقدار C ، شرط مقدار اولیه (Initial Value) زیر را بررسی می کنیم :
\[ \eqalign{ & \left. {\matrix{ {{y^\prime }\left( 1 \right) = 0} \cr {{{dy} \over {dx}} = x - {1 \over 2}{e^{2x}} + C} \cr } } \right\} \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ 0 = 1 - {1 \over 2}{e^2} + C \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \cr & \Rightarrow \ \ \ \ C = {1 \over 2}{e^2} - 1 \cr} \]بنابراین :
\[ {{dy} \over {dx}} = x - {1 \over 2}{e^{2x}} + C \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ {{dy} \over {dx}} = x - {1 \over 2}{e^{2x}} + {1 \over 2}{e^2} - 1 \]اکنون از طرفین معادله، انتگرال (Integral) می گیریم :
\[ \eqalign{ & {{dy} \over {dx}} = x - {1 \over 2}{e^{2x}} + {1 \over 2}{e^2} - 1 \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ dy = \left( {x - {1 \over 2}{e^{2x}} + {1 \over 2}{e^2} - 1} \right)dx \cr & \Rightarrow \ \ \ \ \int {dy} = \int {\left( {x - {1 \over 2}{e^{2x}} + {1 \over 2}{e^2} - 1} \right)dx} \cr} \]برای هر متغیر (Variable) دلخواه z داریم ( کلید شماره 10084 ) :
\[ \int {dz} = z + C \]برای هر متغیر (Variable) دلخواه z داریم ( کلید شماره 10084 ) :
\[ \int {z dz} = {1 \over 2}{z^2} + C \]برای هر متغیر (Variable) دلخواه z داریم ( کلید شماره 10089 ) :
\[ \int {{e^{2z}}dz} = {1 \over 2}{e^{2z}} + C \]با توجه به نکته های بالا :
\[ \Rightarrow \ \ \ \ y = {1 \over 2}{x^2} - {1 \over 4}{e^{2x}} + \left( {{1 \over 2}{e^2} - 1} \right)x + {C_1} \]برای محاسبه مقدار $ {C_1} $ ، شرط مقدار اولیه (Initial Value) زیر را بررسی می کنیم :
\[ \eqalign{ & \left. {\matrix{ {y\left( 1 \right) = - 1} \cr {y = {1 \over 2}{x^2} - {1 \over 4}{e^{2x}} + \left( {{1 \over 2}{e^2} - 1} \right)x + {C_1}} \cr } } \right\} \Rightarrow \ \ \ \ \cr & \Rightarrow \ \ \ \ - 1 = {1 \over 2} - {1 \over 4}{e^2} + \left( {{1 \over 2}{e^2} - 1} \right) + {C_1} \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \cr & \Rightarrow \ \ \ \ - {1 \over 2} = {1 \over 4}{e^2} + {C_1} \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ {C_1} = - {1 \over 2} - {1 \over 4}{e^2} \cr} \]بنابراین :
\[ \eqalign{ & y = {1 \over 2}{x^2} - {1 \over 4}{e^{2x}} + \left( {{1 \over 2}{e^2} - 1} \right)x + {C_1} \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \cr & \Rightarrow \ \ \ \ y = {1 \over 2}{x^2} - {1 \over 4}{e^{2x}} + \left( {{1 \over 2}{e^2} - 1} \right)x + - \left( {{1 \over 2} + {1 \over 4}{e^2}} \right) \cr} \] 1
Thomas' Calculus Early Transcendentals - George B. Thomas Jr., Maurice D. Weir, Joel R. Hass - 13th Edition - صفحه : 429
2
Instructor's Solutions Manual Single Variable - Thomas' Calculus Early Transcendentals - 13th Edition - صفحه : 511
نویسنده علیرضا گلمکانی
شماره کلید 10073
گزینه ها 
نظرات 0 0 0